Giải Sách bài tập Toán 6: Ôn tập chương 1 (Phần 2)

212. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 105m, chiều rộng 60m. Người ta muốn trồng cây xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Tính khoảng cách lớn nhất giữa hai cây liên tiếp (khoảng cách giữa hai cây là một số tự nhiên với đơn vị là mét), khi đó tổng số cây là bao nhiêu?
Giải:
Gọi n (m) (n ∈ ℕ) là khoảng cách giữa hai cây liên tiếp.
Vì mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau nên n là ước chung của kích thước chiều dài và chiều rộng.
Ta có: 105 ⋮ n và 60 ⋮ n
Vì n lớn nhất nên n là ƯCLN (60; 105)
Ta có: 60 = 2².3.5
105 = 3.5.7
ƯCLN (60; 105) = 3.5 = 15
Vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai cây là 15 m.
Chu vi của vườn là: (105 + 60).2 = 330 (m)
Tổng số cây phải trồng là: 330 : 15 = 22 (cây)

213. Có 133 quyển vở, 80 bút bi, 170 tập giấy. Người ta chia vở, bút bi, giấy thành các phần thưởng đều nhau, mỗi phần thưởng gồm cả ba loại. Nhưng sau khi chia còn thừa 13 quyển vở, 8 bút bi, 2 tập giấy không còn đủ chia vào các phần thưởng. Tính xem có bao nhiêu phần thưởng?
Giải:
Gọi m (m ∈ ℕ) là số phần thưởng được chia.
Vì sau khi chia còn dư 13 quyển vở nên ta có: m > 13
Số vở được chia: 133 - 13 = 120 (quyển)
Số bút được chia: 80 - 8 = 72 (cây)
Số tập giấy được chia: 170 - 2 = 168 (tập)
Vì trong mỗi phần thưởng số vở, bút và giấy bằng nhau nên m là ước chung của 120, 72 và 168.
Ta có: 120 = 2³.3.5        72 = 23.32            168 = 2³.3.7
ƯCLN (120; 72; 168) = 2³.3 = 24
ƯC (120; 72; 168) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
Vì m > 13 nên m = 24.
Vậy có 24 phần thưởng.

214. Một thùng chứa hàng có dạng hình hộp chữ nhật chiều dài 320cm, chiều rộng 192cm, chiều cao 224cm. Người ta muốn xếp các hộp có dạng hình lập phương vào trong thùng chứa hàng sao cho các hộp xếp khít theo cả chiều dài, chiều rộng và chiều cao của thùng. Cạnh các hộp hình lập phương đó có độ dài lớn nhất bao nhiêu? (số đo cạnh của hình lập phương là một số tự nhiên với đơn vị là cen-ti-mét)
Giải:
Gọi m (cm) (m ∈ ℕ) là cạnh hình lập phương.
Vì hình lập phương xếp khít theo cả chiều dài, chiều rộng và chiều cao của thùng nên cạnh hình lập phương là ước chung của kích thước chiều dài, chiều rộng, chiều cao của thùng.
Ta có: 320 ⋮ m, 192 ⋮ m và 224 ⋮ m
Vì m lớn nhất nên m là ƯCLN (320; 192; 224)
Ta có: 320 = 2⁶.5           192 = 2⁶.3            224 = 2⁵.7
ƯCLN (320; 192; 224) = 2⁵ = 32
Vậy cạnh hình lập phương lớn nhất bằng 32 (cm).

215. Tại một bên xe, cứ 10 phút lại có một chuyên ta-xi rời bến, cứ 12 phút lại có một chuyến xe buýt rời bến. Lúc 6 giờ, một xe ta-xi và một xe buýt cùng rời bến. Hỏi lúc mấy giờ lại có một ta-xi và một xe buýt cùng rời bến?
Giải:
Gọi m (phút) (m∈ℕ) là thời gian từ lúc ta-xi và xe buýt cùng rời bến lần này đến lúc ta-xi và xe buýt cùng rời bến lần tiếp theo.
Ta có: m ⋮ 10 và m ⋮ 12
Vì m nhỏ nhất nên m là BCNN (10; 12)
Ta có: 10 = 2.5
           12 = 2².3
BCNN (10; 12) = 22.3.5 = 60
Vậy sau 60 phút = 1 giờ thì ta-xi và xe buýt cùng rời bến lần tiếp theo. Lúc đó là 6 + 1 = 7 giờ.

216. Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 400, khi xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 đều thừa 5 học sinh. Tính số học sinh đó.
Giải:
Gọi m (m ∈ ℕ và 200 ≤ m ≤ 400) là số học sinh khối 6 cần tìm.
Vì khi xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 đều dư 5 nên ta có:
m - 5 ⋮ 12; m - 5 ⋮ 15 và m - 5 ⋮ 18
Suy ra: m - 5 là bội chung của 12, 15 và 18.
Ta có: 12 = 2².3
           15 = 3.5
           18 = 2.3²
BCNN (12; 15; 18) = 2².3².5 = 180
BC (12; 15; 18) = {0; 180; 360; 540;...}
Vì 200 ≤ m ≤ 400 nên 195 ≤ m - 5 ≤ 395
Suy ra: m - 5 = 360 => m = 365
Vậy số học sinh khối 6 là 365 em.

217. Có ba chồng sách: Văn, Âm nhạc, Toán, mỗi chồng sách chỉ gồm một loại sách. Mỗi cuốn sách Văn dày 15mm, mỗi cuốn sách Âm nhạc dày 6mm, mỗi cuốn sách Toán dày 8mm. Người ta xếp ba chồng sách cao như nhau. Tính chiều cao nhỏ nhất của ba chồng sách đó.
Giải:
Gọi m (mm) (m ∈ ℕ) là chiều cao nhỏ nhất của ba chồng sách.
Vì ba chồng sách cao bằng nhau nên chiều cao của mỗi chồng là bội chung của bề dày ba quyển sách.
Vì m nhỏ nhất nên m là BCNN (15; 6; 8)
Ta có: 15 = 3.5
             6 = 2.3
             8 = 23
BCNN (15; 6; 8) = 23.3.5 = 120
Vậy chiều cao nhỏ nhất của mỗi chồng sách là 120mm.

218. Quãng đường AB dài 110km. Lúc 7 giờ, người thứ nhất đi từ A để đến B, người thứ hai đi từ B để đến A. Họ gặp nhau lúc 9 giờ. Biết vận tốc người thứ nhất hơn vận tốc người thứ hai là 5km/h. Tính vận tốc của mỗi người.
Giải:
Thời gian hai người đi được cho đến lúc gặp nhau: 9 - 7 = 2 (giờ)
Tổng vận tốc của hai người: 110 : 2 = 55 (km/h)
Vận tốc của người thứ nhất: (55 + 5) : 2 = 30 (km/h)
Vận tốc của người thứ hai: 30 - 5 = 25 (km/h)

219. Toán cổ: Một con chó đuổi một con thỏ cách nó 150dm. Một bước nhảy của chó dài 9dm, một bước nhảy của thỏ dài 7dm và khi chó nhảy một bước thì thỏ cũng nhảy một bước. Hỏi chó nhảy bao nhiêu bước mới đuổi kịp thỏ?
Giải:
Mỗi bước nhảy của chó dài hơn bước nhảy của thỏ: 9-7 = 2 (dm)
Vậy muốn đuổi kịp thỏ, chó phải nhảy: 150 : 2 = 75 (bước)

220. Tôi nghĩ một số có ba chữ số.
Nếu bớt số tôi nghĩ đi 7 thì được số chia hết cho 7.
Nếu bớt số tôi nghĩ đi 8 thì được số chia hết cho 8.
Nếu bớt số tôi nghĩ đi 9 thì được số chia hết cho 9.
Hỏi số tôi nghĩ là số nào?
Giải:
Gọi m là số mà tôi suy nghĩ.
Vì m -7 ⋮ 7, m - 8 ⋮ 8, m - 9 ⋮ 9 nên m là bội chung của 7, 8, 9.
Vì 7, 8, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta có:
BCNN (7; 8; 9) = 7.8.9 = 504
BC (7; 8; 9) = {0; 504; 1008;...}
Vì m là số có ba chữ số nên m = 504.
Vậy số mà tôi suy nghĩ là 504.

221. Toán cổ: Một bà mang một rổ trứng ra chợ. Dọc đường gặp một bà khác vô ý đụng phải, rổ trứng rơi xuống đất. Bà kia tỏ ý muốn đền lại trứng bèn hỏi:
- Bà cho biết trứng trong rổ có bao nhiêu trứng?
Bà có rổ trứng trả lời:
- Tôi chỉ nhớ rằng số trứng đó chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6, lần nào cũng còn thừa ra một quả, nhưng chia cho 7 thì không thừa quả nào. À, mà số trứng chưa đến 400 quả.
Tính xem trong rổ có bao nhiêu quả trứng?
Giải:
Gọi m (m ∈ ℕ và m < 400) là số trứng có trong rổ.
Theo đề bài, ta có:
m - 1 ⋮ 2; m - 1 ⋮ 3; m - 1 ⋮ 4; m - 1 ⋮ 5 và m - 1 ⋮ 6
Suy ra: m - 1 là bội chung của 2; 3; 4; 5; 6
Ta có: 2 = 2
           3 = 3
           4 = 22
           5 = 5
           6 = 2.3
BCNN (2; 3; 4; 5; 6) = 2².3.5 = 60
BC (2; 3; 4; 5; 6) = {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; 420;...}
Suy ra: m - 1 ∈ 6 {60; 120; 180; 240; 300; 360}
  m = {61; 121; 181; 241; 301; 361}
Vì m ⋮ 7 nên m = 301
Vậy rổ trứng có 301 quả.

222. Gọi p là tập hợp các số nguyên tố.
A là tập hợp các số chẵn.
B là tập hợp các số lẻ.
a. Tìm giao của các tập hợp: A và P, A và B.
b. Dùng kí hiệu ⊂ để thể hiện quan hệ giữa các tập hợp P, ℕ, ℕ*.
c. Dùng kí hiệu ⊂ để thể hiện quan hệ giữa mỗi tập hợp A, B với mỗi tập hợp ℕ, ℕ*.
Giải:
a. p ∩ A = {2}; A ∩ B = ∅
b. P ⊂ N; P ⊂ N*; N* ⊂ ℕ
c. A ⊂ ℕ; B ⊂ ℕ; B⊂ ℕ* 

223. Cho hai tập hợp A = {70; 101, B = {5; 14). Viết tập hợp các giá trị của biểu thức:
a. x + y với x ∈ A, y ∈ B.
b. x - y với x ∈ A, y ∈ B.
c. x.y với x ∈ A, y ∈ B.
d. x : y với x ∈ A, y ∈ B và thương x : y là số tự nhiên.
Giải:
a. {75; 84; 15; 24)
b. {65; 56; 5}
c. (350; 980; 50; 140}
d. {14; 5; 2}

224. Lớp 6A có 25 học sinh thích môn Toán, có 25 học sinh thích môn Văn, trong đó có 13 học sinh thích cả hai môn Toán và Văn. Có 9 học sinh không thích cả Toán lẫn Văn.
a. Dùng sơ đồ vòng tròn để minh họa:
- Tập hợp T các học sinh lớp 6A thích Toán
- Tập hợp V các học sinh lớp 6A thích Văn
- Tập hợp K các học sinh lớp 6A không thích cả Toán lẫn Văn
- Tập hợp A các học sinh lớp 6A
b. Trong các tập hợp T, V, K, A, tập hợp nào là tập hợp con của một tập hợp khác?
c. Gọi M là tập hợp các học sinh của lớp 6A thích cả hai môn Toán và Văn. Tìm giao của các tập hợp: T và V, T và M, V và M, K và T, K và V.
d. Tính số học sinh cua lớp 6A.
Giải:
a. Minh họa bằng hình vẽ bên.
b. T ⊂ A
    V ⊂ A
    K ⊂ A
c. T ∩ V = M
    T ∩ M = M
    V ∩ M = M
    K ∩ T = ∅
    K ∩ V = ∅
d. Số học sinh của lớp 6A là:
(24 + 25 - 13) + 9 = 45 (học sinh)