Ôn tập hè Toán 6 bài 5: Ba bài toán cơ bản về phân số. Góc

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Ba bài toán cơ bản về phân số :
a) Tìm của số b cho trước : x = b.  (m, n ∈ N , n ≠ 0).
b) Tìm một số biết của nó bằng a : x = a :  (m. n ∈ ℕ *).
c) Tìm tỉ số của hai số a và b : a : b hay .
2. Ba bài toán cơ bản về tỉ số phần trăm :
a. Tìm p% của số a: x = a .  =
b. Tìm một số biết p% của nó là a: x = a :  =
c. Tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b:  = %.
3. Ba bài toán cơ bản về tỉ lệ xích :
Gọi tỉ lê xích là T, khoảng cách giữa hai điểm trên bản vẽ là a, khoảng cách giữa hai điểm tương ứng trên thực tế là b thì ta có ba bài toán cơ bản sau :
a) Tìm T biết a và b : T = ;
b) Tìm a biết T và b : a = b . T
c) Tìm b biết T và a : b =
Chú ý: a và b phải cùng đơn vị đo.
4. Góc
• Góc là hình gồm hai tia chung gốc.
• Mỗi góc có một số đo. Số đo của mỗi góc không vượt quá 180^o.
Tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz ⇔  +  =  (h.6)


Oy là tia phân giác của xOz ⇔ 
                                          ⇔ 
                                          ⇔  =
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Một lớp học có 40 học sinh trong đó là học sinh nữ. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh nam ?
Giải.
Cách 1. Số học sinh nữ là : 40 .  = 16 (học sinh).
Số học sinh nam là : 40 - 16 = 24 (học sinh).
Cách 2. Số học sinh nam chiếm : 1 - = (số học sinh cả lớp).
Số học sinh nam là : 40 . = 24 (học sinh).

Ví dụ 2. Mẹ bạn Minh gửi tiết kiệm 10 triệu đồng tại một ngân hàng theo thể thức "có kì hạn 6 tháng" với lãi suất 12% một năm. Hỏi hết thời hạn 6 tháng mẹ bạn Minh được lấy ra cả vốn lẫn lãi bao nhiêu tiền ?
Giải.
Số tiền lãi trong 6 tháng là : 10 000 000.12% : 2 = 600 000 (đồng).
Số tiền cả vốn lần lãi trong 6 tháng :
10 000 000 + 600 000 = 10 600 000 (đồng).
Ví dụ 3. Trong đậu đen nấu chín, tỉ lệ dạm chiếm 24%. Tính số kilôgam đậu đen phải nấu chín để có 6kg chất đạm.
Giải.
Số kilôgam đậu đen phải nấu chín để có 6kg chất đạm là: 6: 24% = 25 (kg).
Ví dụ 4. Khối 6 của một trường có số học sinh đạt học lực giỏi, số học sinh đạt học lực khá,  học sinh xếp loại học lực trung bình, còn lại là xếp loại học lực yếu. Biết rằng tổng số học sinh khá và giỏi là 50 học sinh. Tính số học sinh xếp loại học lực yếu.
Giải.
Tổng số học sinh đạt học lực khá và giỏi bằng :
 +  =  (số học sinh cả khối hay 50 học sinh).
Số học sinh khối 6 là : 50 :  = 180 (học sinh).
Số học sinh xếp loại học lực yếu là :
1 - =  (số học sinh cả khối).
Vậy số học sinh xếp loại học lực yếu là :
180. = 10 (học sinh).
Chú ý. Sau khi tìm dược số học sinh khối 6 là 180, có thể tính số học sinh xếp loại trung bình là :
180.  = 120 (học sinh).
Số học sinh xếp loại yếu là :
180 - (50 + 120) = 10 (học sinh).
Ví dụ 5. Tỉ số của hai số a và b là 1 . Tìm hai số đó biết rằng tổng của chúng bằng 64.
Giải.
Ta có 1 = .
Cách l. Theo đề bài thì a : b = 5 : 3. Ta có sơ đồ :

Theo sơ đồ trên ta tính được :
a = .5 = 40; b = .3 = 24.
Cách 2.  =  nên a = b. Do đó
a + b = b + b = . b = b
Nhưng a + b = 64 nên b = 64 suy ra
b = 64: = 64. = 24.
a = 64 - b = 64 - 24 = 40.

Ví dụ 6. Khoảng cách Hà Nội - Thái Nguyên là 80km. Hỏi trên bản đồ tỉ lệ xích 1 : 2 000 000, khoảng cách dó là bao nhiêu xăngtimet ?
Giải.
Ta có 80km = 8 000 000cm.
Từ công thức T = ta suy ra a = b . T.
Vây khoảng cách Hà Nôi - Thái Nguyên trôn bản đồ là:
8 000 000 .   = 4 (cm).

Ví dụ 7. Có 500g dung dịch có nồng độ muối 1 %.
a) Tính lượng muối trong dung dịch.
b) Nếu lượng nước bay hơi đi là 300g thì dung dịch đó có nồng độ muối là bao nhiêu phần trăm ?
Giải.
a) Lượng muối trong dung dịch : 500.1% = 5 (g).
b) Lượng dung dịch còn lại : 500 - 300 = 200 (g).
Nồng độ muối lúc sau : 5 : 200 = % = 2.5%.

Ví dụ 8. Trẽn tia Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB = 2cm, AC = 3cm. Lấy điểm O ở ngoài đường thẳng chứa tia Ax. Vẽ các tia OA, OB, OC. Giả sử  = 80°. = 110°. Tính số đo  .

Giải: (h.7)
Hai điểm B và C nằm trên tia Ax mà AB < AC (2 < 3) nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C, suy ra tia OB nằm giữa hai tia OA và OC. Do đó:
 +  =
hay 80° +  = 110°.
Vậy BOC = 110°- 80° = 30°.
Ví dụ 9. Trên đường thẳng AB lấy một điểm O. Vẽ tia OC sao cho - = 40°.
a) Tính số đo các góc ,
b) Vẽ tia OD nằm giữa các tia OA, OC sao cho = 40°. Hãy chứng tỏ rằng tia OC là tia phân giác của .

Giải. (h. 8)
a) Vì các góc AOC và COB kề bù nên
 +  = 180°. (1) 
Theo đề bài ta có  -   = 40° (2). 
Từ (1) và (2) suy ra :
 = (180° + 40°): 2 = 110°
 = 180° - 110°= 70°. 
b) Vì các góc AOD và BOD kề bù nên  +  = 180° hay 40° +  = 180° suy ra = 180° - 40° = 140°.
Tia OD nằm giữa hai tia OA, OC nên +  =  hay
40° + = 110° suy ra  = 110°- 40° = 70°.
Hai tia OC và OD cùng thuộc nửa mặt phăng bờ chứa tia OB mà <  (70° < 140°) nên tia OC nằm giữa hai tia OB và OD (3).
Ta lại có  =  (= 70°) (4).
Từ (3) và (4) suy ra tia OC là tia phân giác của .

Ví dụ 10. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho D nằm giữa B và E, E nằm giữa D và C. Kẻ các tia AD, AE.
a) Tia AE nằm giữa hai tia nào ?
b) Kể tên các cặp góc kề bù.
c) Kể tên các tam giác nhận AE là cạnh.

Giải. (h. 9)
a) Tia AE nằm giữa hai tia AB, AC. Tia AE còn nằm giữa hai tia AD. AC.
b) Các cập góc kề bù là :
 và  ;  và .
c) Các tam giác nhận AE là cạnh gồm : AEC, AED, AEB.

C. BÀI TẬP
1. Tính nhẩm :
a) 104% của 50;
b) 240% của 25 ;
c) 80% của 12.5 ;
2. Biết rằng 6.797.3 = 20.391 và 20,391 : 7 = 2.913. Hãy tìm của 6.797 và của 2.913 mà không cần tính toán.
3. Một cửa hàng giảm giá 15% các mặt hàng A, B và C. Giá cũ của các mặt hàng A, B, C theo thứ tự là 120 000 đồng, 180 000 đổng và 200 000 đồng. Tính giá trị mới của các mặt hàng này.
4. Biết rằng 9,36.9 = 84,24 và 84.24 : 4 = 21.06. Không cần làm phép tính, hãy :
a) Tìm một số biết của nó bằng 9,36 ;
b) Tìm một số biết 225% của nó bằng 21.06.
5. Tỉ lệ chất bột trong ngô là 68%. Muốn có 85kg chất bột, cần bao nhiêu kilôgam ngô ?
6. Đoán tuổi. (Toán cổ nước Nga)
Con gái hỏi bố bao nhiêu tuổi. Bố trà lời : "Tuổi con bằng tuổi bố bây giờ.
Cách đây 4 năm, tuổi con bằng tuổi bố hiện nay".
Đố em tính được tuổi của hai bố con.
7. Khoảng cách từ điểm cực bắc của tỉnh Hà Giang đến mũi Cà Mau là 1620 km. Trên bản đồ Việt Nam tỉ lệ xích 1:10 000 000, khoảng cách ấy là bao nhiêu xăngtimet ?
8. Trong một ngày đêm, kim giờ và kim phút tạo thành góc vuông bao nhiêu lần ?
9. Một học sinh đo góc bằng thước đo góc (chia từ 0° đến 180°), đáng lẽ phải đọc con số ở vòng cung phía trong lại đọc nhầm sang con số ở vòng cung phía ngoài nên số đo của góc đó đã tăng thêm 10°. Tính số do của góc đó.
10. Trên đường thẳng AB lấy một điểm O. Vẽ tia OC sao cho = 90°. Vẽ tia OD nằm trong góc sao cho = 60°. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia OD, vẽ tia OE sao cho = 30°.
a) Kể tên các góc nhọn, vuông, tù, bẹt trong hình vẽ.
b) Vẽ tia OF nằm trong góc sao cho = 60°. Chứng tỏ ràng tia OD là tia phân giác của .

ĐÁP ÁN

1. a) 104% của 50 bằng 50% của 104 nên ta có 101.  = 52
b) 240% của 25 bằng 25% của 240 tức là bằng 240.  = 60
c) 80% của 12,5 bằng 12,5% của 80 tức là bằng 80.  = 10
2. Để tìm  của 6,797 ta lấy 6,797 . 3 rồi chia cho 7 tức là:
(6,799.3) : 7 = 20,391 : 7 = 2,913
Để tìm của 2,913 ta lấy 2,913 . 7 rồi chia cho 3 tức là:
(2,913.7) : 3 = 20,391 : 3 = 6,797.

3. Giá mới bằng 85% giá cũ.
    Đáp số: A : 102 000 đồng, B : 153 000 đồng, C : 170 000 đổng.
4. Ta đã biết 9,36.9 = 84, 24 (1)
                    84:24:4 = 21,06 (2).
a) Số phải tìm bằng 9,36 :  = 9,36.  =  (theo (1))
                                                         = 21,06 (theo (2)).
b) Số phải tìm bằng 21,06 : 225% = 21,06 :
                                                     = 21,09.  =  (suy từ (2))
                                                   = 9,36 (suy từ (1).
5. 125kg ngô. 
6. Tuổi con gái hiện nay bằng tuổi bố hiện nay, trước đây 4 năm, tuổi con gái bằng  tuổi bố hiện nay nên 4 năm chính là =  -  = (tuổi bố).
Vậy hiện nay tuổi bố là 4 :  = 60 (tuổi), tuổi con gái là 60 .  = 24 (tuổi).
7. Trên bản đồ khoảng cách phải tìm là :
162 000 000.  = 16,2 (cm).
Trong một ngày đêm, kim phút quay dược 24 vòng, kim giờ quay được 2 vòng. Suy ra kim phút phải vượt kim giờ 22 lần và giữa hai lần vượt các kim tạo thành góc vuông hai lần.
Vậy tất cả có 22.2 = 44 (lần) kim giờ và kim phút tạo thành góc vuông.
Hai con số ứng với cùng một vạch chia độ ở vòng cung phía trong và phía ngoài luôn có tổng là 180 (độ). Mạt khác, hiệu hai số này là 10 (độ) nên số đo của góc phải tìm là : (180 - 10): 2 =85 (độ).
10. (h. 12)