Giải SGK Toán 6 chương 1, bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất - Sách Cánh diều

I. Ước chung và Ước chung lớn nhất trang
Hoạt động 1 - Trang 47:
a) Nêu các ước của 30 và của 48 theo thứ tự tăng dần:

a) Nêu các ước của 30 và của 48 theo thứ tự tăng dần
b) Tìm các số vừa ở trong hàng thứ nhất vừa ở trong hàng thứ hai.
c) Xác định số lớn nhất trong các ước chung của 30 và 48.
Giải:
a) Các ước của 30 là: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Các ước của 48 là: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Ta điền vào bảng như sau: 

b) Các số vừa ở trong hàng thứ nhất vừa ở trong hàng thứ hai là 1, 2, 3, 6 được gọi là ước chung của 30 và 48.
c) Số lớn nhất trong các ước chung của 30 và 48 là 6. Số đó được gọi là ước chung lớn nhất của 30 và 48.

Luyện tập 1 - Trang 48:
a) Số 8 có phải là ước chung của 24 và 56 không? Vì sao?
b) Số 8 có phải là ước chung của 14 và 48 không? Vì sao?
Giải:
a) Số 8 là ước chung của 24 và 56 vì 8 vừa là ước chung của 24 vừa là ước chung của 56.
b) Số 8 không phải là ước chung của 14 và 48 vì 8 là ước chung của 48 nhưng không phải là ước chung của 14.

Hoạt động 2 - Trang 48:
Quan sát bảng sau:

Quan sát bảng sau: a) Viết tập hợp ƯC(24, 36). b) Tìm ƯCLN (24, 36)
a) Viết tập hợp ƯC(24, 36).
b) Tìm ƯCLN (24, 36).
c) Thực hiện phép chia ƯCLN (24, 36) cho các ước chung của hai số đó.
Giải:
a) Quan sát bảng trên ta thấy các số 1; 2; 3; 4; 6; 12 vừa là ước của 24 vừa là ước là ước của 36 nên các số đó là ước chung của 24 và 36. 
Do đó ta viết: ƯC(24, 36) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}. 
b) Trong các ước chung của 24 và 36, ta thấy 12 là số lớn nhất.
Vậy ƯCLN(24, 36) = 12. 
c) Thực hiện phép chia ƯCLN(24, 36) cho các ước chung của hai số đó ta được: 
12 : 1 = 12
12 : 2 = 6 
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3 
12 : 6 = 2 
12 : 12 = 1.

Luyện tập 2 - Trang 48:
Số 7 có phải là ước chung của 14, 49, 63? Vì sao?
Giải:
Số 7 là ước chung của 14, 49, 63 vì 7 vừa là ước chung của 14 vừa là ước chung của 49 vừa là ước chung của 63.

Luyện tập 3 - Trang 49:
Tìm tất cả các chữ số có hai chữ số là ước chung của a và b, biết rằng UCLN (a,b) = 80
Giải:
Vì ước chung của a và b đều là ƯCLN(a, b) = 80 nên tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b là: 10, 16, 20, 40, 80.

II. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Luyện tập 4 - Trang 50:
Tìm ƯCLN của 126 và 162
Giải:
126 = 2.7.32
162 = 23.33
=> ƯCLN{126;162} = 2. 32 = 18


III. Hai số nguyên tố cùng nhau
Hoạt động 4 - Trang 50:
Tìm ƯCLN(8, 27).
Giải:
Ta có: 8 = 2 . 4 = 2 . 2. 2 = 2³
27 = 3 . 9 = 3 . 3. 3 = 3³ 
Ta thấy hai số 8 và 27 không có thừa số nguyên tố chung do đó ƯCLN của chúng bằng 1. 
Vậy ƯCLN(8, 27) = 1. 

Luyện tập 5 - Trang 50:
Hai số 24 và 35 có nguyên tố cũng nhau không? Vì sao?
Giải:
Hai số 24 và 35 là hai số nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN(24,35) = 1

Hoạt động 5 - Trang 50:
a) Tìm ƯCLN(4, 9).
b) Có thể rút gọn phân số a) Tìm ƯCLN(4, 9). b) Có thể rút gọn phân số 4/9 được nữa hay không được nữa hay không?
Giải:
a) Ta có: 4 = 2 . 2 = 2² và 9 = 3 . 3 = 3² 
Do đó hai số 4 và 9 không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN(4, 9) = 1. 
b) Vì ƯCLN(4, 9) = 1 nên ta KHÔNG thể rút gọn phân số a) Tìm ƯCLN(4, 9). b) Có thể rút gọn phân số 4/9 được nữa hay không được nữa (vì cả tử và mẫu đều không cùng chia hết được cho số tự nhiên nào khác 1).  
 

* BÀI TẬP

Câu 1 - Trang 51: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Số 1 có phải là ước chung của hai số tự nhiên bất kì không? Vì sao?
Giải:
Số 1 là ước chung của hai số tự nhiên bất kì. Bởi vì tất cả các số tự nhiên đều có ước số là số 1.

Câu 2 - Trang 51: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Quan sát hai thanh sau:

a) Viết tập hợp ƯC(440,495)
b) Tìm ƯCLN(440,495)
Giải:
a) ƯC(440,495) = {1,5,11,55}
b) ƯCLN(440,495) = 55

Câu 3 - Trang 51: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Tìm ước chung lớn nhất của từng cặp số trong 3 số sau đây:
a) 31, 22,34
b) 105, 128, 135
Giải:
a)
+ Ta có: 31 là số nguyên tố nên nó chỉ có hai ước là 1 và 31. 
22 và 34 không chia hết cho 31 
Do đó ta có: ƯCLN(31, 22) = 1 và ƯCLN(31, 34) = 1.
+ Ta còn phải tìm ƯCLN(22, 34), ta phân tích các số 22 và 34 ra thừa số nguyên tố ta được: 22 = 2 . 11; 34 = 2 . 17. 
Khi đó thừa số nguyên tố chung của 22 và 34 là 2 với số mũ nhỏ nhất là 1.
Vậy ƯCLN( 22, 34) = 2. 

b) Ta phân tích các số 105; 128; 135 ra thừa số nguyên tố, ta có: 

Do đó: 105 = 3 . 5 . 7
128 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 27
135 = 3 . 3 . 3 . 5 = 33 . 5 
+ Hai số 105 và 128 không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN(105, 128) = 1. 
+ Hai số 128 và 135 không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN(128, 135) = 1. 
+ Hai số 105 và 135 có các thừa số nguyên tố chung là 3 và 5. 
Số 3 có số mũ nhỏ nhất là 1; số 5 có số mũ nhỏ nhất là 1. 
Do đó: ƯCLN(105, 135) = 31 . 51 = 3 . 5 = 15
Vậy ƯCLN(105, 128) = 1; ƯCLN(128, 135) = 1 và ƯCLN(105, 135) = 15. 

Câu 4 - Trang 51: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Tìm ƯCLN(126, 150). Từ đó hãy tìm tất cả các ước chung của 126, 150
Giải:

Do đó: 126 = 2 . 3 . 3 . 7 = 2 . 3². 7
150 = 2 . 3 . 5 . 5 = 2 . 3 . 5²
Các thừa số nguyên tố chung của 126 và 150 là 2 và 3
Số 2 có số mũ nhỏ nhất là 1; số 3 có số mũ nhỏ nhất là 1.
Do đó: ƯCLN(126, 150) = 2¹. 3¹ = 2 . 3 = 6 
Lại có 6 có các ước là 1; 2; 3; 6
Ước chung của 126 và 150 là ước của ƯCLN(126, 150) là 1; 2; 3; 6
Hay ƯC(126, 150) = {1; 2; 3; 6} 
Vậy ƯCLN(126, 150) = 6; ƯC(126, 150) = {1; 2; 3; 6}. 

Câu 5 - Trang 51: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản ; ;
Giải:
Các phân số được gọi là tối giản khi phân số đó có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau. Vậy để rút gọn các phân số (chưa phải là phân số tối giản) thì ta đi tìm ƯCLN của tử số và mẫu số, rồi lấy cả tử và mẫu chia cho ƯCLN của cả hai thì ta được phân số tối giản. 
+ Rút gọn phân số Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản:
Ta có: 

Do đó: 60 = 2² . 3 . 5 và 72 = 2² . 3²
Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3, số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1
Suy ra ƯCLN(60, 72) = 2² . 3¹ = 4 . 3 = 12 
Vậy  =  =
+ Rút gọn phân số Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản:
Ta có: 70 = 7 . 10 = 7 . (2 . 5) = 2 . 5 . 7
95 = 5 . 19 
Thừa số nguyên tố chung là 5, có số mũ nhỏ nhất là 1
Khi đó: ƯCLN(70, 95) = 5¹ = 5
Vậy  =  =
+ Rút gọn phân số 

Do đó: 150 = 2 . 3 . 5²
360 = 2 . 5 . 2 . 2 . 3 . 3 = 2³ . 3² . 5
Các thừa số nguyên tố chung là 2, 3 và 5
Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1
Nên ƯCLN(150, 360) = 2 . 3. 5 = 30 
Vậy Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản:  =  =

Câu 6 - Trang 51: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Phân số  bằng các phân số nào trong các phân số sau: ; ; ;
Giải:
Ta thấy các phân số  : ; ; ; chưa là phân số tối giản, mà phân số  là phân số tối giản (vì 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau) nên ta đi rút gọn các phân số  : ; ; ;  rồi so sánh.
+ Ta có: 48 = 3 . 16 = 3 . 2⁴; 108 = 4 . 27 = 2² . 3³
Các thừa số nguyên tố chung là 2, 3 và số mũ nhỏ nhất của 2 là 2; số mũ nhỏ nhất của 3 là 3. 
Nên ƯCLN(48, 108) = 2² . 3 = 12.
Do đó:

+ Ta có: 80 = 8 . 10 = 2³ . (2 . 5) = 2⁴ . 5
180 = 10 . 18 = (2 . 5) .(2 . 3 . 3) = 2² . 3² . 5
Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 5; Số 2 có số mũ nhỏ nhất là 2, số 5 có số mũ nhỏ nhất là 1.
Nên ƯCLN(80, 180) = 2² . 5 = 20

Do đó: 

+ Ta có: 60 = 6 . 10 = (2. 3) . (2 . 5) = 2² . 3 . 5
130 = 10 . 13 = 2 . 5 . 13
Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 5, số 2 và số 5 đều có số mũ nhỏ nhất là 1.
Nên ƯCLN(60, 130) = 2 . 5 = 10
Do đó:  =  ≠

+ Ta có: 135 = 5 . 27 = 5 . 3³; 270 = 10 . 27 = (2 . 5) .3³ = 2 . 3³ . 5
Các thừa số nguyên tố chung là 3 và 5. Số 3 có số mũ nhỏ nhất là 3 và 5 có số mũ nhỏ nhất là 1.
Nên ƯCLN(135, 270) = 3³. 5 = 135
Do đó:  =  ≠
Vậy trong các phân số đã cho, các phân số bằng  là  : ;

Câu 7 - Trang 51: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Một nhóm gồm 24 bạn nữ và 30 bạn nam tham gia một số trò chơi. Có thể chia các bạn thành nhiều nhất bao nhiêu đội chơi sao cho số bạn nam cũng như số bạn nữ được chia đều vào các đội?
Giải:
Giả sử a là số đội chơi được chia. (a ∈ N*)
 Vì a là lớn nhất (phải chia nhiều đội nhất) và số bạn nam cũng như số bạn nữ được chia đều vào các đội nên khi đó a là ước chung lớn nhất của 24 và 30. 
Ta có: 24 = 3 . 8 = 3 . 23 ; 30 = 3 . 10 = 3 . 2 . 5 
(Các thừa số chung là 2; 3 và đều có số mũ nhỏ nhất là 1)
Khi đó: ƯCLN(24, 30) = 2 . 3 = 6 hay a = 6. 
Vậy có thể chia các bạn nhiều nhất thành 6 đội. 

Câu 8 - Trang 51: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Một khu đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài 48m, chiều rộng 42m. Người ta muốn chia khu đất ấy thành những mảnh hình vuông bằng nhau (với độ dài cạnh, đo theo đơn vị mét là số tự nhiên) để trồng các loại rau. Có thể chia được bằng bao nhiêu cách? Với cách chia nào thì diện tích của mảnh đất hình vuông là lớn nhất và bằng bao nhiêu?
Giải:
​Gọi: a là số cách chia mảnh đất thành các mảnh hình vuông bằng nhau 
b (m) là độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông được chia theo cách chia lớn nhất a,b ∈ N*
Theo yêu cầu bài ra thì khi đó: 
+ a là số các ước chung của 48 và 42
+ b là ước chung lớn nhất của 48 và 42
Ta có: 42 = 2 . 21 = 2 . 3 . 7 
48 = 16 . 3 = 2⁴ . 3
Do đó: ƯCLN(42, 48) = 2 . 3 = 6 hay b = 6 m 
Mà Ư(6) = {1; 2; 3; 6) Nên ƯC(42, 48) = {1; 2; 3; 6}
Do đó có 4 ước chung của 42 và 48 hay a = 4.
Vậy:
+ Số cách chia thành những mảnh hình vuông bằng nhau là 4 cách.
+ Với cách chia có độ dài cạnh là 6m thì cạnh của mảnh đất hình vuông là lớn nhất. 

* Áp dụng thuật toán Ơ-clit để tìm ƯCLN của:
a) 126 và 162;
b) 2 268 và 1 260.
Giải:
a) 126 và 162;

Bước 1: Chia số 162 cho 126 
162 : 126 = 1 (dư 36) (1)
Bước 2: 
- Phép chia (1) còn dư nên lấy số chia 126 chia cho số dư 36
126 : 36 = 3 (dư 18) (2)
- Phép chia (2) còn dư nên lấy số chia 36 chia cho số dư 18
36 : 18 = 2 (dư 0) (3)
Phép chia (3) có số dư bằng 0, ta dừng lại.
Bước 3: Số chia cuối cùng là ƯCLN phải tìm
Vậy ƯCLN(162, 126) = 18.

b) 2 268 và 1 260.

Bước 1: Chia số 2 268 cho 1 260 
2 268 : 1 260 = 1 (dư 1 008) (1)
Bước 2: 
- Phép chia (1) còn dư nên lấy số chia 1 260 chia cho số dư 1 008
1 260 : 1 008 = 1 (dư 252) (2)
- Phép chia (2) còn dư nên lấy số chia 1 008 chia cho số dư 252
1 008 : 252 = 4 (dư 0) (3)
Phép chia (3) có số dư bằng 0, ta dừng lại.
Bước 3: Số chia cuối cùng là ƯCLN phải tìm
Vậy ƯCLN(2 268, 1 260) = 252.