Giải SGK Toán 6 chương 1, bài 13: Bội chung và bội chung nhỏ nhất - Sách Cánh diều

Để chuẩn bị trò chơi trong chuyến đi dã ngoại, cô Ánh đi siêu thị mua bóng bàn và cốc sao cho số quả bóng bàn bằng số cốc. Tuy nhiên, tại siêu thị, bóng bàn chỉ bán theo hộp gồm 6 quả, cốc chỉ bán theo bộ gồm 8 chiếc.
Cô Ánh phải mua ít nhất bao nhiêu bộ cốc và bao nhiêu hộp bóng bàn?
Giải:
Sau khi học bài này, ta sẽ biết được số chiếc cốc và số quả bóng bàn mà cô Ánh phải mua ít nhất là bội chung nhỏ nhất của 6 và 8. 
Ta có: 6 = 2 . 3 và 8 = 23 
Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 6 và 8 là 2 và 3
Số mũ lớn nhất của 2 là 3, số mũ lớn nhất của 3 là 1
Khi đó BCNN(6, 8) = 23 . 3 = 24
Do đó cô Ánh phải mua 24 chiếc cốc và 24 quả bóng bàn.
Số bộ cốc là: 24 : 8 = 3 (bộ)
Số hộp bóng bàn là: 24 : 6 = 4 (hộp)
Vậy cô Ánh cần mua ít nhất 3 bộ cốc và 4 hộp bóng bàn để số bóng bàn và số cốc bằng nhau. 
 

I. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Hoạt động 1 - Trang 54:
a) Nêu một số bội của 2 và của 3 theo thứ tự tăng dần:

Một số bội của 2	0	2	?	?	?	?	?	?	?	?	20
Một số bội của 3	0	3	?	?	?	?	?	?	?	?	30

b) Tìm các số vừa ở trong hàng thứ nhất vừa ở trong hàng thứ hai. 
c) Xác định số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 2 và 3.
Giải:
a)

Một số bội của 2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
Một số bội của 3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30

b) Các số vừa ở hàng thứ nhất vừa ở hàng thứ 2 là: 0, 6, 12, 18.
c) Số nhỏ nhất khác 0 trong bội chung của 2 và 3 là: 6.

Luyện tập 1 - Trang 54:
Nêu 4 bội chung của 5 và 9
Giải:
Bốn bội chung của 5 và 9 là: 40, 90, 135

Hoạt động 2 - Trang 54:
Quan sát bảng sau:
Quan sát bảng sau:

a) Viết ba bội chung của 8 và 12 theo thứ tự tăng dần.
b) Tìm BCNN(8, 12).
c) Thực hiện phép chia ba bội chung của 8 và 12 cho BCNN(8, 12).
Giải:
a) Quan sát bảng ta thấy các bội chung của 8 và 12 là: 0; 24; 48; 72.
Đề bài chỉ yêu cầu chúng ta đưa ra 3 bội chung của 8 và 12 nên ta chỉ cần chọn 3 trong 4 số trên và xếp chúng theo thứ tự tăng dần. 
Ví dụ: 24; 48; 72. 
b)  Trong các bội chung của 8 và 12 ở trên, ta thấy số 24 là số bé nhất và khác 0 nên BCNN(8, 12) = 24. 
c) Chia 3 bội chung của 8 và 12 cho BCNN(8, 12)
24 : 24 = 1
48 : 24 = 2
72 : 24 = 3. 

Luyện tập 2 - Trang 55:
Tìm tất cả các chữ số có hai chữ số là bội chung của a và b, biết rằng BCNN (a,b) = 300
Giải:
BCNN(a,b) = 300 => Tất cả các số có 3 chữ số là bội chung của a và b là: 300, 600, 900
 

II. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Luyện tập 3 - Trang 56:
Tìm bội chung nhỏ nhất của 12, 18, 27
Giải:
+ Ta phân tích các số 12, 18, 27 ra thừa số nguyên tố:
12 = 4 . 3 = 2² . 3 
18 = 2 . 9 = 2 . 3² 
27 = 3³ 
+ Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 12, 18 và 27 là 2 và 3.
Số mũ lớn nhất của 2 là 2, số mũ lớn nhất của 3 là 3 
Vậy BCNN(12, 18, 27) = 2² . 3³ = 4 . 27 = 108.
 

III. Ứng dụng bội chung nhỏ nhất vào cộng, trừ các phân số không cùng mẫu

Luyện tập 4 - Trang 57:
Thực hiện phép tính
  -  +  
Giải:
+ Để thực hiện phép tính, trước tiên ta đi tìm BCNN của 15, 25 và 10
Ta có: 15 = 3 . 5; 25 = 5² ; 10 = 2 . 5
Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 15, 25, 10 là 2, 3 và 5; lần lượt tương ứng với các số mũ lớn nhất là 1; 1 và 2.
Khi đó: BCNN(15, 25, 10) = 2 . 3 . 5² = 6 . 25 = 150
+ Ta có: 150 : 15 = 10; 150 : 25 = 6; 150 : 10 = 15
+ Khi đó: ; ;
Vậy
 -  +  =  =

* BÀI TẬP

Câu 1 - Trang 57: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
a) Hãy viết các ước của 7 và các ước của 8. Tìm ƯCLN(7,8)
b) Hai số 7 và 8 có nguyên tố cùng nhau không? Vì sao?
c) Tìm BCNN(7,8). So sánh bội chung nhỏ nhất đó với tích của hai số 7 và 8.
Giải:
+ Để tìm các ước của 7 ta lấy 7 lần lượt chia cho các số tự nhiên từ 1 đến 7, các phép chia hết là: 7 : 1 = 7; 7 : 7 = 1
Do đó: các ước của 7 là: 1; 7 
+ Để tìm các ước của 8 ta lấy 8 lần lượt chia cho các số tự nhiên từ 1 đến 8, các phép chia hết là: 8 : 1 = 8; 8 : 2 = 4; 8 : 4 = 2; 8 : 8 = 1.
Các ước của 8 là: 1; 2; 4; 8.
+ Từ đó suy ra ƯC(7, 8) = 1 nên ƯCLN(7, 8) = 1.

b) Vì ƯCLN(7, 8) = 1 (theo câu a) nên hai số 7 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau. 

c) Ta có: 7 = 7¹; 8 = 2³
Các thừa số nguyên tố chung và riêng là 7 và 2 với số mũ cao nhất lần lượt là 1 và 3.
Do đó BCNN(7, 8) = 7¹ . 2³ = 56 
Mà 7 . 8 = 56
Hay ta nói bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau 7 và 8 chính bằng tích của hai số 7 và 8. 

Câu 2 - Trang 57: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Quan sát hai thanh sau:

a) Số 0 có phải là nội chung của 6 và 1 không? Vì sao?
b) Viết bốn bội chung của 6 và 10 theo thứ tự tăng dần.
c) Tìm BCNN(6,10)
d) Tìm các bội chung của 6 và 10 mà nhỏ hơn 160.
Giải:
a) Quan sát hình trên, ta thấy số 0 nằm trên cả 2 thanh, thanh một số bội của 10 (thanh ngang) và thanh một số bội của 6 (thanh cong) nên số 0 là bội chung của 6 và 10. 
Mở rộng: Hơn nữa, 0 chia hết cho tất cả các số tự nhiên khác 0 nên 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0. 
b) Quan sát hình trên, ta thấy các số 0; 30; 60; 90 (được tô màu đậm hơn) nằm trên cả hai thanh ngang và thanh cong.
Do đó bốn bội chung của 6 và 10 được xếp theo thứ tự tăng dần là: 0; 30; 60; 90.
c) Trong các bội chung trên của 6 và 10, ta thấy 30 là số bé nhất và khác 0.
Do đó nó là bội chung nhỏ nhất của 6 và 10 hay BCNN(6, 10) = 30.
d) Các bội chung của 6 và 10 là các bội của BCNN(6, 10) = 30. 
Mà các bội của 30 là: 0; 30; 60; 90; 120; 150; 180;…. (lần lượt nhân 30 với 0, 1, 2, …)
Vậy các bội chung của 6 và 10 nhỏ hơn 160 là: 0; 30; 60; 90; 120; 150.

Câu 3 - Trang 57: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Tìm bội chung nhỏ nhất của:
a) 7 và 13;
b) 54 và 108;
c) 21, 30, 70.
Giải:
a) Ta có, 7 và 13 đều là các số nguyên tố 
Nên 7 và 13 cũng là hai số nguyên tố cùng nhau
Do đó: BCNN(7, 13) = 7 . 13 = 91. 

b) Ta có: 54 = 2 . 27 = 2 . 3³ 
108 = 4 . 27 = 2² . 3³ 
Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 54 và 108 là 2 và 3, tương ứng với các số mũ lớn nhất lần lượt là 2 và 3
Khi đó: BCNN(54, 108) = 2² . 3³ = 4 . 27 = 108.

c) Ta có: 21 = 3 . 7
30 = 3 . 10 = 3 . 2 . 5; 70 = 7. 10 = 7 . 2 . 5
Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 21, 30, 70 là 2, 3, 5, 7; chúng đều có số mũ lớn nhất là 1.
Do đó: BCNN(21, 30, 70) = 2 . 3. 5 . 7 = 210. 

Câu 4 - Trang 57: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Thực hiện các phép tính sau:
a.
b.

Giải:
a) Để thực hiện phép tính, trước hết tìm bội chung nhỏ nhất của 48 và 40 để quy đồng mẫu số.
+ Ta có: 48 = 16 . 3 = 2⁴ . 3 
40 = 8 . 5 = 2³ . 5 
Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 48 và 40 là 2, 3, 5, tương ứng với các số mũ lớn nhất lần lượt là 4, 1, 1.
Khi đó: BCNN(48, 40) = 2⁴ . 3 .5 = 16 . 3 . 5 = 240.
+ 240 : 48 = 5; 240 : 40 = 6 
+ Ta có: 
Vậy 

b) Để thực hiện phép tính, trước hết tìm bội chung nhỏ nhất của 6, 27 và 18 để quy đồng mẫu số.
+ Ta có: 6 = 2 . 3; 27 = 3³; 18 = 2 . 9 = 2 . 3² 
Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 6, 27 và 18 là 2; 3, tương ứng với các số mũ lớn nhất là 1; 3. 
Khi đó: BCNN(6, 27, 18) = 2¹. 3³ = 2 . 27 = 54
+ 54 : 6 = 9; 54 : 27 = 2; 54 : 18 = 3
+ Ta có: 
Vậy 

Câu 5 - Trang 58: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Bội chung nhỏ nhất của hai số là 45. Một trong hai số đó là 5. Hãy tìm số còn lại.
Giải:
Gọi số cần tìm là x
Ta có: BCNN(x, 5) = 45 
Mà 45 = 5 . 9 = 5 . 3² ; 5 = 5¹ và 5 là số nguyên tố nên x và 5 phải là hai số nguyên tố cùng nhau, mà bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau chính bằng tích của hai số đó. 
Do đó x = 3² = 9.  
Vậy số cần tìm là 9. 

Câu 6 - Trang 58: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Câu lạc bộ thể thao của một trường trung học cơ sở có không quá 50 học sinh tham gia. Biết rằng khi chia số học sinh trong câu lạc bộ đó thành từng nhóm 5 học sinh hoặc 8 học sinh thì vừa hết. Câu lạc bộ thể thao đó có bao nhiêu học sinh.
Giải:
Gọi a là số học sinh của câu lạc bộ thể thao (a ∈ N*, a ≤ 50)
Vì khi chia số học sinh trong câu lạc bộ đó thành từng nhóm 5 học sinh hoặc 8 học sinh thì vừa hết nên a là bội chung của 5 và 8. 
Ta có: 5 = 5¹; 8 = 2³ 
Do đó: BCNN(5, 8) = 5¹ . 2³ = 5 . 8 = 40
Mà bội chung của 5 và 8 là các bội của BCNN(5, 8) = 40 
Nên BC(5, 8) ={0; 40; 80; 120; …}
Vì a ≤ 50 nên a = 40. 
Vậy câu lạc bộ thể thao đó có 40 học sinh. 

Câu 7 - Trang 58: (Toán 6 tập 1 sách Cánh Diều)
Lịch cập cảng của ba tàu như sau: tàu thứ nhất cứ 10 ngày cập 1 lần; tàu thứ hai cứ 12 ngày cập 1 lần; tàu thứ nhất cứ 15 ngày cập 1 lần. Vào một ngày nào đó, ba tàu cùng nhau cập cảng. Sau ít nhất bao nhiêu ngày thì ba tàu lại cùng nhau cập cảng?
Giải:
Gọi x là số ngày ít nhất mà ba tàu lại cập cảng cùng nhau.  
Vì tàu thứ nhất cứ 10 ngày thì cập cảng một lần nên x là bội của 10.
Tàu thứ hai cứ 12 ngày thì cập cảng một lần nên x là bội của 12.
Tàu thứ ba cứ 15 ngày thì cập cảng một lần nên x là bội của 15.
Do đó x là bội chung của 10, 12 và 15
Mà x là ít nhất nên x là bội chung nhỏ nhất của 10, 12 và 15.
Ta đi tìm BCNN(10, 12, 15)
Ta có: 10 = 2 . 5; 12 = 3 . 4 = 3 . 2²; 15 = 3 . 5
Khi đó: BCNN(10, 12, 15) = 2² . 3 . 5 = 4 . 3 . 5 = 60
Hay x = 60 
Vậy sau ít nhất 60 ngày thì ba tàu lại cùng nhau cập cảng. 

Có thể em chưa biết:

Một số nước phương Đông, trong đó có Việt nam, gọi tên năm âm lịch bằng cách ghép tên của một trong 10 can (theo thứ tự là Giáp, Ất, Bính, Đinh, Mậu, Kỷ, Canh, Tân, Nhâm, Quý) với tên của một trong 12 chi (theo thứ tự là Tỷ, Sửu, Dần, Mão, Thìn, Tỵ, Ngọ, Mùi, Thân, Dậu, Tuất, Hợi). Đầu tiên, Giáp được ghép với Tý thành năm Giáp Tý. Cứ 10 năm, Giáp được lặp lại. Cứ 12 năm, Tý được lặp lại:

Giải thích tại sao cứ 60 năm thì năm Giáp Tý được lặp lại?
Giải:
Vì cứ 10 năm, can Giáp được lặp lại. Cứ 12 năm, chi Tý được lặp lại, nên số năm Giáp Tí được lặp lại là bội chung của 10 và 12. Và số năm ít nhất năm Giáp Tý lặp lại là bội chung nhỏ nhất của 10 và 12. 
Phân tích 10 và 12 ra thừa số nguyên tố ta được:
10 = 2 . 5 
12 = 2 . 2 . 3 = 2² . 3
Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 10 và 12 là 2, 3, 5 với số mũ lớn nhất lần lượt là: 2, 1, 1.
Khi đó: BCNN(10, 12) = 2² . 3 . 5 = 60.
Vậy cứ sau 60 năm thì năm Giáp Tý được lặp lại.