Giải SGK Toán 7 sách Kết nối tri thức, bài 13: Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

Mở đầu trang 63: Ta nói hai đoạn thẳng bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài, hai góc bằng nhau nếu chúng có cùng số đo góc. Vậy hai tam giác như thế nào thì được gọi là bằng nhau và làm thế nào để kiểm tra được hai tam giác đó bằng nhau? Trong bài này chúng ta sẽ trả lời câu hỏi đó.
Giải:
Hai tam giác được gọi là bằng nhau nếu các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.
Để kiểm tra hai tam giác bằng nhau, ta kiểm tra xem các cạnh tương ứng và các góc tương ứng của hai tam giác đó có bằng nhau hay không. Nếu chúng bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau.
 

Hoạt động 1 - Trang 63: Gấp đôi một tờ giấy rồi cắt như Hình 4.9.

Phần được cắt ra là hai tam giác “chồng khít” lên nhau.
Theo em:
- Các cạnh tương ứng có bằng nhau không?
- Các góc tương ứng có bằng nhau không?
Giải:
- Các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
- Các góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau.

Câu hỏi trang 64: Biết hai tam giác trong Hình 4.11 bằng nhau, em hãy chỉ ra các cặp cạnh tương ứng, các cặp góc tương ứng và viết đúng kí hiệu bằng nhau của cặp tam giác đó.

Giải:
Các cặp cạnh tương ứng: FE = KH, ED = HG, DF = GK.
Các cặp góc tương ứng:   = ,  = ,  = 
Kí hiệu bằng nhau của cặp tam giác là: DEF = GHK

Luyện tập 1 - Trang 65: Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.13). Biết rằng BC = 4 cm,   = 40^o,  = 60^o
Hãy tính độ dài đoạn thẳng EF và số đo góc EDF.
Giải:
Xét tam giác ABC   + +  = 180^o
Do đó  = 180^o -  -  = 180^o – 60^o – 40^o = 80^o
Do tam giác ABC bằng tam giác DEF nên EF = BC (2 cạnh tương ứng) và
 =  =  (2 góc tương ứng).
Do đó EF = 4 cm và  = 40^o
Vậy EF = 4 cm và  = 80^o.
 

 Hoạt động 2 - trang 65: Vẽ tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 4 cm, BC = 6 cm theo các bước sau:
- Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng BC = 6 cm.
- Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5 cm và cung tròn tâm C bán kính 4 cm sao cho hai cung tròn cắt nhau tại điểm A (H.4.14).
- Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC.

Giải:
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng BC = 6 cm.

Bước 2. Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5 cm và cung tròn tâm C bán kính 4 cm sao cho hai cung tròn cắt nhau tại điểm A.


Bước 3. Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được tam giác ABC.


Hoạt động 3 - Trang 66: Tương tự, vẽ thêm tam giác A'B'C' có A'B' = 5cm, A'C' = 4cm, B'C' = 6cm.
- Dùng thước đo góc kiểm tra xem các góc tương ứng của hai tam giác ABC và A'B'C'  có bằng nhau không.
- Hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?
Giải:
Thực hiện vẽ tam giác A’B’C’ theo các bước như sau:
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng B’C’ = 6 cm

Bước 2. Vẽ cung tròn tâm B’ bán kính 5 cm và cung tròn tâm C’ bán kính 4 cm sao cho hai cung tròn cắt nhau tại điểm A'.


Bước 3. Vẽ các đoạn thẳng A’B’, A’C’ ta được tam giác A’B’C’

- Sử dụng thước đo góc, ta có  =   82,8^o;  =   41,4^o;  =   55,8^o
Các góc tương ứng của hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.
- Hai tam giác ABC và A′B′C′ có:
AB = A’B’, BC = B’C’, CA = C’A’ (theo giả thiết)
 = ,  =  , =  (chứng minh trên).
Vậy hai tam giác ABC và A′B′C′ có các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau.
Do đó Δ ABC = ΔA′B′C′

Câu hỏi trang 66: Trong Hình 4.15, những cặp tam giác nào bằng nhau?

Giải:
Quan sát hình ta thấy:
Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:
AB = MN, BC = NP, CA = PM.
Do đó ΔABC = ΔMNP (c – c – c).
Xét tam giác DEF và tam giác GHK có:
DE = GH, EF = HK, FD = KG.
Do đó ΔDEF = ΔGHK  (c – c – c).
Vậy các cặp tam giác bằng nhau là:
ΔABC = ΔMNP, ΔDEF = ΔGHK

Luyện tập 2 - Trang 66: Cho Hình 4.17, biết AB = AD, BC = DC.
Chứng minh rằng ΔABC = ΔADC
.
Giải:
Xét hai tam giác ABC và ADC có:
AB = AD (theo giả thiết)
BC = DC (theo giả thiết)
AC chung
Vậy ΔABC = ΔADC (c − c − c)

Vận dụng trang 67: Người ta dùng compa và thước thẳng để vẽ tia phân giác của góc xOy như sau:

(1) Vẽ đường tròn tâm O cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B.
(2) Vẽ đường tròn tâm A bán kính AO và đường tròn tâm B bán kính BO. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm M khác điểm O.
(3) Vẽ tia Oz đi qua M.
Em hãy giải thích vì sao tia OM là tia phân giác của góc xOy.
Giải:
Do A và B thuộc đường tròn tâm O nên AO = BO.
Do M thuộc đường tròn tâm B bán kính BO nên BO = BM.
Do M thuộc đường tròn tâm A bán kính AO nên AO = AM.
Mà AO = BO nên AM = BM.
Xét hai tam giác OBM và OAM có:
BO = AO (chứng minh trên).
BM = AM (chứng minh trên).
OM chung.
Do đó ΔOBM = ΔOAM (c − c − c).
Do đó   =  (2 góc tương ứng).
Mà OM nằm giữa hai tia OA và OB nên OM là tia phân giác của   hay OM là tia phân giác của  
Vậy OM là tia phân giác của 
 

Bài 4.4 -Trang 67: Cho tam giác ABC và DEF như hình 4.18. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
(1) ΔABC = ΔDEF
(2) ΔACB = ΔEDF
(3) ΔBAC = ΔDFE
(4) ΔCAB = ΔDEF

Giải:
Xét tam giác ΔACB = ΔEDF có:
AC = ED
AB = EF
CB = DF
=>  ΔΔACB = ΔEDF (c.c.c)

Xét tam giác ΔCAB = ΔDEF có:
CA = DE
AB = EF
CB = DF
=> ΔCAB = ΔDEF(c.c.c)
Vậy khẳng định (2) và (4) đúng.

Bài 4.5 - Trang 67: Trong Hình 4.19, hãy chỉ ra hai cặp tam giác bằng nhau.

Giải:
- Xét hai tam giác ABD và CDB có:
AB = CD (theo giả thiết).
AD = BC (theo giả thiết).
BD chung.
Do đó ΔABD = ΔCDB (c−c−c).
- Xét hai tam giác ACD và CAB có:
AD = BC (theo giả thiết).
CD = AB (theo giả thiết).
AC chung.
Do đó ΔACD = ΔCAB (c−c−c).
Vậy hai cặp tam giác bằng nhau là: ΔABD = ΔCDB, ΔACD = ΔCAB.

Bài 4.6 - Trang 67: Cho Hình 4.20, biết AB = CB, AD = CD,  = 90^o,  = 30^o
a) Chứng minh rằng ΔABD = ΔCBD
b) Tính

Giải:
a) Xét hai tam giác ABD và CBD có:
AB = BC (theo giả thiết).
AD = CD (theo giả thiết).
BD chung.
Vậy ΔABD = ΔCBD (c –c – c)
b) Do ΔABD = ΔCBD nên  =  (2 góc tương ứng)
Do đó   = 30^o
Xét tam giác ABD vuông tại A có:  =  = 90^o (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
Do đó ABD = 90^o - ADB = 90^o – 30^o = 60^o
Do ΔABD = ΔCBD nên  =  (2 góc tương ứng).
Do đó  = 60^o
Khi đó  =  +  = 60^o + 60^o = 120^o
Vậy  = 120^o