Giải SGK Toán 7 sách Kết nối tri thức, bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Mở đầu trang 75: Quan sát hai chiếc cột dựng thẳng đứng, cạnh nhau và cao bằng nhau. Vì Mặt Trời ở rất xa Trái Đất, nên vào buổi chiều các tia nắng Mặt Trời tạo với hai chiếc cột các góc xem như bằng nhau.
Bạn Vuông: Tớ thấy bóng hai chiếc cột dài bằng nhau, vì sao vậy nhỉ?
Bạn Tròn: Đấy là do hai chiếc cột cao bằng nhau đấy!
Lí do mà bạn Tròn đưa ra như vậy có đúng không? Qua bài học này, các em sẽ có câu trả lời cho câu hỏi trên.
Quan sát hai chiếc cột dựng thẳng đứng, cạnh nhau và cao bằng nhau
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Giải:

Ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác vuông này cũng bằng nhau.
Gọi hai tam giác vuông này lần lượt là ABC (vuông tại A) và A′B′C′ (vuông tại A′) trong đó AB và A′B′ lần lượt là hai chiếc cột, góc B và góc B′ là góc tạo bởi tia nắng mặt trời với hai cột.
Khi đó ta có AB = A′B′,  = '
Xét hai tam giác ABC và A'B'C' có:
 =  (theo giả thiết).
AB  = A′B′ (theo giả thiết).
 =  (cùng bằng 90^o).
Do đó ΔABC = ΔA′B′C′  (g – c – g).
Khi đó AC = A′C′ (2 cạnh tương ứng) hay bóng của hai chiếc cột bằng nhau.
Vậy bạn Tròn nói đúng.
 

Hoạt động 1 - Trang 75: Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A′B′C′ (vuông tại đỉnh A′) có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau: 
AB = A′B′, AC = A′C′ (H.4.45).
Dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A′B′C′ bằng nhau.
Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A'B'C' vuông tại đỉnh A')

Giải:
Xét hai tam giác ABC và
A′B′C′ có:
AB = A′B′ (theo giả thiết).
 = ' (cùng bằng 90^o).
AC = A′C′ (theo giả thiết).
Vậy ΔABC = ΔA′B′C′ (c – g – c).

Hoạt động 2 - Trang 76 : Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A′B′C′ (vuông tại đỉnh A′) có tương ứng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề với cạnh ấy bằng nhau: 
AB = A′B′,  =  (H.4.46).
Dựa vào trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A′B′C′ bằng nhau.

Giải:
Xét hai tam giác ABC và A′B′C′ có:
 =  (theo giả thiết)
AB = A′B′ (theo giả thiết)
 =  (cùng bằng 90o)
Vậy ΔABC = ΔA′B′C′ (g – c – g).

Luyện tập 1 - Trang 76: Quay trở lại tình huống mở đầu, ta thấy mỗi chiếc cột với bóng của nó tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Hai tam giác vuông này có hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau và hai góc ở đỉnh chiếc cột của hai tam giác này cũng bằng nhau. Vậy lí do mà bạn Tròn đưa ra có đúng không?
Giải:


Gọi hai tam giác vuông này lần lượt là ABC (vuông tại A) và A′B′C′ (vuông tại A′) trong đó AB và A′B′ lần lượt là hai chiếc cột, góc B và góc B′ là góc tạo bởi tia nắng mặt trời với hai cột.

Khi đó ta có AB = A′B′, =
Xét hai tam giác ABC và A′B′C′ có:
 =  (theo giả thiết).
AB = A′B′ (theo giả thiết).
 =  (cùng bằng 90^o).
Do đó ΔABC = ΔA′B′C′ (g – c – g).
Khi đó AC = A′C′  (2 cạnh tương ứng) hay bóng của hai chiếc cột bằng nhau.
Vậy bạn Tròn nói đúng.

Hoạt động 3 - Trang 76: Hình 4.47 mô phỏng chiều dài và độ dốc của hai con dốc bởi các đường thẳng BC, B′C′ và các góc B, B′. Khi đó AC, A′C′ mô tả độ cao của hai con dốc
a) Dựa vào trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và A′B′C′ bằng nhau.
b) So sánh độ cao của hai con dốc.

Giải:
a) Xét tam giác ABC có  +  +  = 180^o
Do đó  = 180^o -  -  (1)
Xét tam giác A′B′C′ có  +  +  = 180^o
Do đó  = 180^o - ' - ' (2)
Mà  =  = 90^o,  =  (theo giả thiết) nên từ (1) và (2) có  +
Xét hai tam giác ABC và A′B′C′ có:
 =  (theo giả thiết).
BC = B′C′ (theo giả thiết).
 = ' (chứng minh trên).
Vậy ΔABC = ΔA′B′C′ (g – c – g).

b) Do ΔABC = ΔA′B′C′ nên AC = A′C′ (2 cạnh tương ứng) hay hai con dốc có độ cao bằng nhau.
Vậy hai con dốc có độ cao bằng nhau.


Câu hỏi trang 77 : Trong Hình 4.48, hãy tìm các cặp tam giác vuông bằng nhau và giải thích vì sao chúng bằng nhau.

Giải:
Xét hai tam giác ABC vuông tại A và XYZ vuông tại X có:
 =  (theo giả thiết).
AC = XZ (theo giả thiết).
Do đó ΔABC = ΔXYZ (cạnh góc vuông và góc nhọn kề nó).
Xét hai tam giác DEF vuông tại D và GHK vuông tại G có:
 =  (theo giả thiết).
EF = HK (theo giả thiết).
Do đó ΔDEF = ΔGHK (cạnh huyền – góc nhọn).
Xét hai tam giác MNP vuông tại M và RTS vuông tại R có:
MN = RT (theo giả thiết).
MP = RS (theo giả thiết).
Do đó ΔMNP = ΔRTS (2 cạnh góc vuông).
Vậy ΔABC = ΔXYZ, ΔDEF = ΔGHK, ΔMNP = ΔRTS

Luyện tập 2 - Trang 77: Cho Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy điểm M trên tia Oz và hai điểm A, B lần lượt trên các tia Ox, Oy sao cho MA vuông góc với Ox, MB vuông góc với Oy (H.4.50). Chứng minh rằng MA = MB.

Giải:
Do Oz là tia phân giác của góc xOy nên  =
Mà M thuộc tia Oz, A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy nên  =
Do MA ⊥ OA, MB ⊥ OB  nên tam giác OAM vuông tại A, tam giác OBM vuông tại B.
Xét hai tam giác OAM vuông tại A và OBM vuông tại B có:
 =  (chứng minh trên).
OM chung.
Do đó ΔOAM = ΔOBM (cạnh huyền – góc nhọn).
 

Hoạt động 4 - Trang : Vẽ tam giác vuông ABC có  = 90^o,  AB = 3 cm, BC = 5 cm theo các bước sau:
- Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.
- Vẽ tia Ax vuông góc với AB và cung tròn tâm B bán kính 5 cm như Hình 4.51.
Cung tròn cắt tia Ax tại điểm C.
- Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.
Vẽ tam giác vuông ABC có góc A=90 độ, AB = 3 cm, BC = 5 cm

Giải:
Ta thực hiện vẽ theo các bước như sau:
Bước 1. Dùng thước thẳng có vạch chia vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm.


Bước 2. Vẽ tia Ax vuông góc với AB tại A.


Bước 3. Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5 cm. Cung tròn cắt tia Ax tại điểm C.
Nối BC ta được tam giác ABC.

Hoạt động 5 - Trang 78: Tương tự, vẽ thêm tam giác A′B′C′  có  = 90^o, A′B′= 3cm, B′C′ = 5cm.
a) Dùng thước thẳng có vạch chia hoặc compa kiểm tra xem AC có bằng A′C′ không? 
b) Hai tam giác ABC và A′B′C′ có bằng nhau không?
Giải:
Thực hiện tương tự như Hoạt động 4, ta có hình vẽ tam giác A'B'C' như sau:

a) Dùng thước thẳng có vạch chia, ta đo được AC = A′C′ = 4cm.
b) Xét hai tam giác ABC vuông tại A và A′B′C′ vuông tại A′ có:
AB = A′B′ (cùng bằng 3 cm).
AC = A′C′ (cùng bằng 4 cm).
Vậy ΔABC = ΔA′B′C′ (2 cạnh góc vuông).

Câu hỏi trang 78: Hãy chỉ ra các cặp tam giác vuông bằng nhau dưới đây.

Giải:
Xét hai tam giác ABC vuông tại A và GHK vuông tại G có:
AB = GH (theo giả thiết).
BC = HK (theo giả thiết).
Do đó ΔABC = ΔGHK (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Xét hai tam giác DEF vuông tại D và MNP vuông tại M có:
DF = MP (theo giả thiết).
EF = NP (theo giả thiết).
Do đó ΔDEF = ΔMNP  (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Vậy ΔABC = ΔGHK, ΔDEF = ΔMNP
.
Luyện tập 3 - Trang 79: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn tâm O và các điểm M, N, P như Hình 4.54. Hãy chỉ ra ba cặp tam giác vuông bằng nhau trong hình.

Giải:
Do A, B, C nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB = OC.
Xét hai tam giác ONA vuông tại N và ONC vuông tại N có:
OA = OC (chứng minh trên).
ON chung.
Do đó ΔONA = ΔONC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Xét hai tam giác OMB vuông tại M và OMC vuông tại M có:
OB = OC (chứng minh trên).
OM chung.
Do đó ΔOMB = ΔOMC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Xét hai tam giác OPA vuông tại P và OPB vuông tại P có:
OA = OB (chứng minh trên).
OP chung.
Do đó ΔOPA = ΔOPB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Vậy ΔONA = ΔONC, ΔOMB = ΔOMC, ΔOPA = ΔOPB.

Thử thách nhỏ trang 79: Có hai chiếc thang dài như nhau được dựa vào một bức tường với cùng độ cao BH = B′H′ như Hình 4.55. Các góc BAH và B′A′H′ có bằng nhau không? Vì sao?

Giải:
Xét hai tam giác BAH vuông tại H và 
B′H′A′ vuông tại H′ có:
BA = B′A′ (theo giả thiết).
BH =B′H′ (theo giả thiết).
Do đó ΔBAH = ΔB′A′H′ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Vậy  =  (2 góc tương ứng).
 

Bài 4.20 - Trang 79: Mỗi hình sau có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Giải:
a) Xét 2 tam giác vuông ABC và ADC có:
 =  = 90^o
AC chung
 =  (gt)
Vậy ΔABC = Δ ADC(g.c.g)

b) Xét 2 tam giác vuông HEG và GFH có:
HE = GF(gt)
HG chung
Vậy ΔHEG = ΔGFH(c.h-c.g.v)

c) Xét 2 tam giác vuông QMK và NMP có:
QK = NP
 =  (theo giả thuyết)
Vậy ΔQMK = ΔNMP(cạnh huyền – góc nhọn)

d) Xét 2 tam giác vuông VST và UTS có:
VS = UT
ST chung
Vậy ΔVST = ΔUTS(c.g.c).

Bài 4.21 -Trang 79: Cho hình 4.56, biết AB = CD,  =  = 90^o. Chứng minh rằng ΔABE = Δ DCE.

Giải:
Xét tam giác ABE có  =  +  = 180^o
Do đó  = 180^o -  -  (1)
Xét tam giác DCE có  +  +  = 180^o
Do đó  = 180^o -  -  (2)
Mà  =  90^o,  =  (2 góc đối đỉnh) nên từ (1) và (2) có  =  Xét hai tam giác ABE vuông tại A và DCE vuông tại E có:
 =  (chứng minh trên).
AB = DC (theo giả thiết).
Vậy ΔABE = ΔDCE (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Bài 4.22 - Trang 79: Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh rằngΔ ABM = Δ DCM.
Giải:

Do ABCD là hình chữ nhật nên  =  = 90^o, AB = CD. 
Hay   = DCM  = 90^o
Do đó tam giác ABM vuông tại B, tam giác DCM vuông tại C.
Do M là trung điểm của cạnh BC nên MB = MC.
Xét hai tam giác ABM vuông tại B và DCM vuông tại C có:
AB = CD (chứng minh trên).
MB = MC (chứng minh trên).
Vậy ΔABM = ΔDCM (2 cạnh góc vuông).