Giải Toán 8 sách Kết nối Tri Thức, bài 4: Phép nhân đa thức

 1. Nhân đơn thức với đa thức

Luyện tập 1 trang 19: Nhân hai đơn thức:
a) 3x² và 2x³;
b) –xy và 4z³;
c) 6xy³ và –0,5x².
Giải:
a) 3x² . 2x³ = (3. 2)(x² . x³) = 6x⁵;
b) –xy . 4z³ = –4xyz3;
c) 6xy³ . (–0,5x²) = [6 . (–0,5)] (x . x²) y³ = –3x³y³

Hoạt động 1 trang 19: Hãy nhớ lại quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp chúng có một biến bằng cách thực hiện phép nhân (5x²) . (3x² – x – 4).
Giải:
Ta có (5x²) . (3x² – x – 4) = 5x² . 3x² – 5x² . x – 5x² . 4
= 15x⁴ – 5x³ – 20x².

Hoạt động 2 trang 20: Bằng cách tương tự, hãy làm phép nhân (5x²y) . (3x²y – xy – 4y).
Giải:
Ta có (5x²y) . (3x²y – xy – 4y)
= 5x²y . 3x²y – 5x²y . xy – 5x²y . 4y
= (5.3)(x².x²)(y.y) – 5(x².x)(y.y) – (5.4)x²(y.y)
= 15x⁴y² – 5x³y² – 20x²y².

Luyện tập 2 trang 20: Làm tính nhân:
a) (xy) . (x² + xy – y²);
b) (xy + yz + zx) . (–xyz).
Giải:
a) (xy) . (x² + xy – y²) = xy . x² + xy . xy – xy . y²
= x³y + x²y² – xy³.
b) (xy + yz + zx) . (–xyz) = xy . (–xyz) + yz . (–xyz) + zx . (–xyz)
= –x²y²z – xy²z² – x²yz².

Vận dụng trang 20: Rút gọn biểu thức x³(x + y) – x(x³ + y³).
Giải:
Ta có x³(x + y) – x(x³ + y³) = x³ . x + x³ . y – x . x³ – x . y³
= x⁴ + x³y – x⁴ – xy³ = x³y – xy³.
 

2. Nhân đa thức với đa thức

Hoạt động 3 trang 20: Hãy nhớ lại quy tắc nhân hai đa thức một biến bằng cách thực hiện phép nhân: (2x + 3) . (x² – 5x + 4).
Giải:
Ta có (2x + 3) . (x² – 5x + 4)
= 2x . x² – 2x . 5x + 2x . 4 + 3 . x² – 3 . 5x + 3 . 4
= 2x³ – 10x² + 8x + 3x² – 15x + 12
= 2x³ + (3x² – 10x²) + (8x – 15x) + 12
= 2x³ – 7x² – 7x + 12.

Hoạt động 4 trang 20: Bằng cách tương tự, hãy thử làm phép nhân  (2x + 3y) . (x² – 5xy + 4y²).
Giải:
Ta có (2x + 3y) . (x² – 5xy + 4y²)
= 2x . x² – 2x . 5xy + 2x . 4y² + 3y . x² – 3y . 5xy + 3y . 4y²
= 2x³ – 10x²y + 8xy² + 3x²y – 15xy² + 12y³
= 2x³ + 12y³ + (3x²y – 10x²y) + (8xy² – 15xy²)
= 2x³ + 12y³ – 7x²y – 7xy².

Luyện tập 3 trang 21: Thực hiện phép nhân:
a) (2x + y)(4x2 – 2xy + y²);
b) (x²y² – 3)(3 + x²y²).
Giải:
a) (2x + y)(4x² – 2xy + y²)
= 2x . 4x² – 2x . 2xy + 2x . y² + y . 4x² – y . 2xy + y . y²
= 8x³ – 4x²y + 2xy² + 4x²y – 2xy² + y³
= 8x³ + (4x²y – 4x²y) + (2xy² – 2xy²) + y³
= 8x³ + y³.

b) (x²y² – 3)(3 + x²y²) = x²y² . 3 + x²y² . x²y² – 3 . 3 – 3 . x²y²
= 3x²y² + x⁴y⁴ – 9 – 3x²y² = x⁴y⁴ – 9.

Thử thách nhỏ trang 21: Xét biểu thức đại số với hai biến k và m sau: P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3).
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Chứng minh rằng tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.
Giải:
a) P = (2k – 3)(3m – 2) – (3k – 2)(2m – 3)
= (6km – 9m – 4k + 6) – (6km – 4m – 9k + 6)
= 6km – 9m – 4k + 6 – 6km + 4m + 9k – 6
= (6km – 6km) + (4m – 9m) + (9k – 4k) + (6 – 6) = 5k – 5m.

b) Ta thấy P = 5k – 5m = 5(k – m)
Vì 5 ⋮ 5 nên 5(k – m) ⋮ 5
Do đó, tại mọi giá trị nguyên của k và m, giá trị của biểu thức P luôn là một số nguyên chia hết cho 5.
 

3. Giải Bài tập trang 21

Bài 1.24: Nhân hai đơn thức:
a) 5x²y và 2xy²;
b)  xy và 8x³y²;
c) 1,5xy²z³ và 2x³y²z.

Giải:
a) 5x²y . 2xy² = (5. 2)(x² . x)(y . y²) = 10x³y³;
b)  xy . 8x3y² =   = 6x⁴y³;
c) 1,5xy²z³ . 2x³y²z = (1,5 . 2)(x . x³)(y² . y²)(z . z³) = 3x⁴y⁴z⁴.

Bài 1.25: Tìm tích của đơn thức với đa thức:

Giải:


Bài 1.26: Rút gọn biểu thức x(x² – y) – x²(x + y) + xy(x – 1).
Giải:
Ta có x(x² – y) – x²(x + y) + xy(x – 1)
= x . x² – x . y – x² . x – x² . y + xy . x – xy . 1
= x³ – xy – x³ – x²y + x²y – xy
= (x³ – x³) + (x²y – x²y) – (xy + xy) = –2xy.

Bài 1.27: Làm tính nhân:

Giải:


Bài 1.28: Rút gọn biểu thức sau để thấy rằng giá trị của nó không phụ thuộc vào giá trị của  biến: (x - 5)(2x + 3) - 2x(x - 3) + x + 7
Giải:
Ta có (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7
= x . 2x + x . 3 – 5 . 2x – 5 . 3 – 2x . x + 2x . 3 + x + 7
= 2x² + 3x – 10x – 15 – 2x² + 6x + x + 7
= (2x² – 2x²) + (3x – 10x + 6x + x) + (7 – 15)
= –8.
Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 1.29: Chứng minh đẳng thức sau: (2x + y)(2x² + xy – y²) = (2x – y)(2x² + 3xy + y²).
Giải:
Ta có:
• (2x + y)(2x² + xy – y²)
= 2x . 2x² + 2x . xy – 2x . y² + y . 2x² + y . xy – y . y²
= 4x³ + 2x²y – 2xy² + 2x²y + xy² – y³
= 4x³ + (2x²y + 2x²y) + (xy² – 2xy²) – y³
= 4x³ + 4x²y – xy² – y³.
• (2x – y)(2x² + 3xy + y²)
= 2x . 2x² + 2x . 3xy + 2x . y² – y . 2x² – y . 3xy – y . y²
= 4x³ + 6x²y + 2xy² – 2x²y – 3xy² – y³
= 4x³ + (6x²y – 2x²y) + (2xy² – 3xy²) – y³
= 4x³ + 4x²y – xy² – y³.
Do đó (2x + y)(2x² + xy – y2) = (2x – y)(2x² + 3xy + y2) = 4x3 + 4x²y – xy² – y³.
Vậy (2x + y)(2x² + xy – y2) = (2x – y)(2x² + 3xy + y²).