Giải Toán 8 sách Kết nối Tri Thức, bài 6: Hiệu hai bình phương - Bình phương của một tổng hay một hiệu

1. Hằng đẳng thức

Luyện tập 1 trang 30: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức?
a) a(a + 2b) = a² + 2ab;
b) a + 1 = 3a – 1.
Giải:
a) Đẳng thức a(a + 2b) = a² + 2ab là hằng đẳng thức;
b) Đẳng thức a + 1 = 3a – 1 không là hằng đẳng thức (vì khi ta thay a = 0 thì kết quả ở vế trái bằng 1 còn kết quả ở vế phải bằng – 1. Khi đó, kết quả hai vế của đẳng thức không bằng nhau).
 

2. Hiệu hai bình phương

Hoạt động 1 trang 30: Quan sát hình 2.1.

a) Tính diện tích của phần hình màu xanh ở hình 2.1a
b) Tính diện tích hình chữ nhật màu xanh ở hình 2.1b
c) Có nhận xét gì về diện tích của hai hình ở câu a và câu b
Giải:
a) Diện tích của phần hình màu xanh ở hình 2.1a:
a(a - b) + b(a - b)
= (a + b)(a - b) = a² – b²
b) Diện tích hình chữ nhật màu xanh ở hình 2.1b: (a + b)(a - b) = a² – b²
c) Diện tích của hai hình ở câu a và câu b bằng nhau

Hoạt động 2 trang 31: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a+b) x (a-b)
Từ đó rút ra liên hệ giữa a² – b² và (a + b)(a - b)
Giải:
Lấy a = 5, b = 3, ta có: (5 + 3)(5 - 3) = 16
5² – 3² = 25 - 9 = 16
Từ đó rút ra, a² – b² = (a + b) (a - b)

Luyện tập 2 trang 31: 
a) Tính nhanh 99² – 1;
b) Viết x² – 9 dưới dạng tích.
Giải:
a) Ta có 99² – 1 = (99 + 1)(99 – 1) = 100 . 98 = 9 800;
b) Ta có x² – 9 = x² – 32 = (x + 3)(x – 3).
Vậy x² – 9 = (x + 3)(x – 3).

Vận dụng 1 trang 31: Ở bài toán mở đầu, em hãy giải thích xem bạn đó tính nhanh như thế nào.
Trong một trò chơi trí tuệ trên truyền hình dành cho học sinh, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả phép tính 198 . 202. Ngay lập tức một bạn đã chỉ ra kết quả đúng. Bạn ấy tính như thế nào mà nhanh thế nhỉ?
Giải:
Để tính nhanh kết quả phép tính 198 . 202, ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:
198 . 202 = (200 – 2)(200 + 2) = 2002 – 22 = 40 000 – 4 = 39 996.
 

3. Bình phương của một tổng

Hoạt động 3 trang 31: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a + b). Từ đó rút ra liên hệ giữa (a + b)² và a² + 2ab + b².
Giải:
Ta có: (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b2 = a² + 2ab + b².
Ta thấy (a + b)(a + b) = (a + b)²; (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b².
Do đó (a + b)² = a² + 2ab + b².

Luyện tập 3 trang 32:
a. Khai triển (2b + 1)².
b. Viết biểu thức 9y² + 6yx + x² dưới dạng bình phương của một tổng.
Giải:
a. Ta có (2b + 1)² = (2b)² + 2 . 2b . 1 + 12 = 4b² + 4b + 1.
b. Ta có 9y² + 6yx + x² = (3y)² + 2 . 3y . x + x² = (3y + x)².
Vậy 9y² + 6yx + x² = (3y + x)
 

4. Bình phương của một hiệu

Hoạt động 4 trang 32: Với hai số a, b bất kì, viết a – b = a + (–b) và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính (a – b)².
Giải:
Ta có (a – b)² = [a + (–b)]² = a² + 2a.(–b) + (–b⁾² = a² – 2ab + b².
Do đó (a – b)² = a² – 2ab + b².

Luyện tập 4 trang 32: 
Khai triển (3x – 2y)².
Giải:
Ta có (3x – 2y)² = (3x)² – 2 . 3x . 2y + (2y)² = 9x² – 12xy + 4y².

Vận dụng 2 trang 32: Trong trò chơi “Ai thông minh hơn học sinh lớp 8”, người hướng dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính 1 0022. Chỉ vài giây sau, Nam đã tính kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính nhanh như thế nào.
Giải:
Để tính nhanh kết quả của phép tính 1 002², có thể Nam đã tính như sau:
Sử dụng công thức bình phương của một tổng, ta thực hiện:
1 0022 = (1 000 + 2)² = 1 000² + 2 . 1 000 . 2 + 22
= 1 000 000 + 4 000 + 4 = 1 004 004.
 

5. Giải bài tập trang 30

Bài 2.1: Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?
a) x + 2 = 3x + 1;
b) 2x(x + 1) = 2x² + 2x;
c) (a + b)a = a² + ba;
d) a – 2 = 2a + 1.
Giải:
a) Đẳng thức x + 2 = 3x + 1 không phải là hằng đẳng thức vì khi x = 0 thì kết quả ở vế trái bằng 2, vế phải bằng 1, khi đó kết quả của hai vế không bằng nhau;
b) Đẳng thức 2x(x + 1) = 2x² + 2x là hằng đẳng thức;
c) Đẳng thức (a + b)a = a² + ba là hằng đẳng thức;
d) Đẳng thức a – 2 = 2a + 1 không phải là hằng đẳng thức vì khi x = 2 thì kết quả ở vế trái bằng 0, vế phải bằng 5, khi đó kết quả của hai vế không bằng nhau.

Bài 2.2: Thay ? bằng biểu thức thích hợp.
a) (x-3y)(x+3y) = x² - ? ;
b) (2x-y)(2x+y) = 4 ? - y²;
c) x² + 8xy + ? = (? + 4y)²;
d) ? - 12xy + 9y² = (2x - ?)².
Giải:
a) Ta có (x – 3y)(x + 3y) = x² – (3y)² = x² – 9y².
Vậy ta điền như sau (x-3y)(x+3y) = x² – 9y² ;

b) Ta có (2x – y)(2x + y) = (2x)² – y² = 4x² – y².
Vậy ta điền như sau (2x – y)(2x + y) = 4x² - y2 ;

c) Ta có x2 + 8xy + 16y² = x² + 2 . x . 4y + (4y)² = (x + 4y)².
Vậy ta điền như sau x² + 8xy + 16y² = (x + 4y)² ;

d) Ta có 4x² – 12xy + 9y² = (2x)² – 2 . 2x . 3y + (3y)² = (2x – 3y)².
Vậy ta điền như 4x² - 12xy + 9y² = (2x – 3y)² .

Bài 2.3: Tính nhanh
a) 54 x 66
b) 203²
Giải:
a) 54 . 66 = (60-6) (60+6)
=60² - 6² = 3600 - 36 = 3564

b) 203² = (200+3)² = 200² + 2 x 200 x 3 + 3²
= 40000 + 1200 + 9 = 41209

Bài 2.4: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu
a) x² + 4x + 4;
b) 16a² – 16ab + 4b².
Giải:
a) x² + 4x + 4 = x² + 2 . x . 2 + 2² = (x + 2)²;
b) 16a² – 16ab + 4b² = (4a)² – 2 . 4a . 2b + (2b)² = (4a – 2b)².

Bài 2.5: Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x – 3y)² – (x + 3y)²;
b) (3x + 4y)² + (4x – 3y)².
Giải:
a) (x – 3y)² – (x + 3y)² = [(x – 3y) + (x + 3y)] [(x – 3y) – (x + 3y)]
= (x – 3y + x + 3y)(x – 3y – x – 3y) = 2x . (–6y) = –12xy;

b) (3x + 4y)² + (4x – 3y)²
= (3x)² + 2 . 3x . 4y + (4y)² + (4x)² – 2 . 4x . 3y + (3y)²
= (3x)² + (4y)² + (4x)² + (3y)² = 9x² + 16y² + 16x² + 9y²
= 25x² + 25y².

Bài 2.6: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có:
(n+2)² - n²chia hết cho 4
Giải:
(n+2)² - n² = n² + 4n + 4 - n²
= 4n + 4 = 4(n+1)
Vì 4(n + 1) chia hết cho 4 nên (n+2)² - n² chia hết cho 4