Giải Toán 8 sách Kết nối Tri Thức, bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử

Hoạt động trang 42: Hãy viết đa thức x² - 2xy thành tích của các đa thức, khác đa thức là số.
Giải:
x² - 2xy = x (x - 2y)

Luyện tập 1 trang 42: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 6y³ + 2y
b) (x - y) - 3x(x - y )
Giải:
a) 6y³ + 2y = 2y (3y³ + 1)
b) 4(x - y) - 3x(x - y) = (x - y)(4 - 3x)

Vận dụng 1 trang 42: Giải bài toán mở đầu bằng cách phân tích 2x² + x thành nhân tử.
Giải:
Để tìm x thỏa mãn 2x² + x = 0 thì Tròn cần phân tích đa thức 2x² + x thành nhân tử.
Ta có: 2x² + x = x (2x + 1) (phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung).
Khi đó x (2x + 1) = 0
x = 0 hoặc 2x + 1 = 0
x = 0 hoặc x = ∈ 
 

Luyện tập 2 trang 43: Ta phân tích đa thức 2x² – 4xy + 2y – x thành nhân tử như sau:
Giải:
Cách 1:
2x² – 4xy + 2y – x
= (2x² – 4xy) + (2y – x)
= 2x(x – 2y) – (x – 2y)
= (x – 2y)(2x – 1).
Cách 2:
2x² – 4xy + 2y – x
= (2x² – x) – (4xy – 2y)
= x(2x – 1) – 2y(2x – 1)
= (2x – 1)(x – 2y).
 

Luyện tập 3 trang 44:
a) (x + 1)² – y²;
b) x³ + 3x² + 3x + 1;
c) 8x³ – 12x² + 6x – 1.
Giải:
a) (x + 1)² – y² = (x + 1 + y)(x + 1– y);
b) x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ + 3 . x² . 1 + 3x . 12 + 13 = (x + 1)³;
c) 8x³ – 12x² + 6x – 1 = (2x)³ – 3. (2x)². 1 + 3 . 2x . 1² – 1³ = (2x – 1)³.

Vận dụng 2 trang 44: Tính nhanh giá trị của biểu thức
A = x2 + 2y – 2x – xy tại x = 2022, y = 2020.
Giải:
Ta có thể phân tích đa thức A thành nhân tử theo 2 cách như sau:
Cách 1:
Ta có A = x² + 2y – 2x – xy = (x² – 2x) + (2y – xy)
= x(x – 2) + y(2 – x) = x(x – 2) – y(x – 2)
= (x – 2)(x – y).

Cách 2:
Ta có A = x² + 2y – 2x – xy = (x² – xy) – (2x – 2y)
= x(x – y) – 2(x – y) = (x – y)(x – 2).
Thay x = 2022, y = 2020 vào biểu thức A, ta được:
(2022 – 2)(2022 – 2020) = 2020 . 2 = 4040.

Tranh luận trang 44: Phân tích đa thức x³ – x thành nhân tử.

Em hãy nêu ý kiến của em về lời giải của Tròn và Vuông.
Giải:
Bạn Vuông phân tích đa thức đã cho thành tích của hai đa thức, tuy nhiên đa thức trong ngoặc còn có thể phân tích tiếp được.
Bạn Tròn phân tích đa thức thành các nhân tử, trong đó mỗi nhân tử không phân tích tiếp được nữa.
 

Bài 2.22: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x² + xy;
b) 6a²b – 18ab;
c) x³ – 4x;
d) x⁴ – 8x.
Giải:
a) x² + xy = x(x + y);
b) 6a²b – 18ab = 6ab(a – 3);
c) x³ – 4x = x(x² – 4) = x(x + 2)(x – 2);
d) x² – 8x = x(x³ – 8) = x(x³ – 2³)
= x(x – 2)(x² + 2x + 2²)
= x(x – 2)(x² + 2x + 4).

Bài 2.23: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x² – 9 + xy + 3y;
b) x²y + x² + xy – 1.
Giải:
a) x² – 9 + xy + 3y = (x² – 9) + (xy + 3y)
= (x + 3)(x – 3) + y(x + 3)
= (x + 3)(x + y – 3).
b) x²y + x² + xy – 1 = (x²y + xy) + (x² – 1)
= xy(x + 1) + (x + 1)(x – 1) = (x + 1)(xy + x – 1).

Bài 2.24: Tìm x, biết:
a) x² – 4x = 0;
b) 2x³ – 2x = 0.
Giải:
a) x² – 4x = 0
x(x – 4) = 0
x = 0 hoặc x – 4 = 0
x = 0 hoặc x = 4.
Vậy x ∈ {0; 4}.

b) 2x³ – 2x = 0
2x(x² – 1) = 0
2x(x + 1)(x – 1) = 0
x = 0 hoặc x + 1 = 0 hoặc x – 1 = 0
x = 0 hoặc x = – 1 hoặc x = 1.
Vậy x ∈ {– 1; 0; 1}.

Bài 2.25: Một mảnh vườn hình vuông có độ dài cạnh bằng x (mét). Người ta làm đường đi xung quanh mảnh vườn, có độ rộng như nhau và bằng y (mét) (H.2.2)
a) Viết biểu thức tính diện tích S của đường bao quanh mảnh vườn theo x và y
b) Phân tích S thành nhân tử rồi tính S khi x = 102, y = 2 m

Giải:
a) Đặt tên các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q như hình vẽ.

Diện tích hình vuông ABCD là: x² (m).
Hình vuông MNPQ có độ dài một cạnh là: x – y – y = x – 2y (m).
Diện tích hình vuông MNPQ là: (x – 2y)² (m²).
Diện tích S của đường bao quanh mảnh vườn là:
S = x² – (x – 2y)2 = x² – (x² – 4xy + 4y²)
= x² – x² + 4xy – 4y² = 4xy – 4y² (m²).
Vậy diện tích S của đường bao quanh mảnh vườn là 4xy – 4y² (m²).
b) Phân tích đa thức S thành nhân tử, ta được:
S = 4xy – 4y² = 4y(x – y).
Thay x = 102 m, y = 2 m vào biểu thức S, ta được:
S = 4 . 2 . (102 – 2) = 8 . 100 = 800 (m²).