1. Hình thoi
Câu hỏi trang 67: Hình thoi có phải là hình bình hành không? Nếu có, từ tính chất đã biết của hình bình hành, hãy suy ra những tính chất tương ứng của hình thoi.
Giải:
Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên ta suy ra hai cặp cạnh đối bằng nhau.
Do đó hình thoi cũng là hình bình hành.
Ta suy ra tính chất hình thoi dựa vào tính chất của hình bình hành như sau:
- Hình thoi có hai góc đối bằng nhau.
- Hình thoi có các cặp cạnh đối song song.
- Hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hoạt động 1 trang 68: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O (H.3.48)
a) ∆ABD có cân tại A không?
b) AC có vuông góc với BD không và AC có là đường phân giác của góc A không? Vì sao?
Giải:
a) Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AB = AD.
Suy ra ∆ABD có cân tại A.
b) Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.
Xét ∆ABC và ∆ADC có:
AB = AD (chứng minh trên);
BC = CD (chứng minh trên);
Cạnh AC chung.
Do đó ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)
Suy ra
=
(hai góc tương ứng)
Hay AC là đường phân giác của góc A.
Tam giác ABD cân tại A có AO là đường phân giác của góc A (vì AC là đường phân giác góc A) nên AO cũng là đường cao.
Khi đó AO ⊥ BD hay AC ⊥ BD.
Vậy AC vuông góc với BD và AC là đường phân giác của góc A.
Câu hỏi trang 68: Hãy viết giả thiết, kết luận của câu c trong Định lí 2.
Giải:
Giả thiết, kết luận của câu c trong Định lí 2.
Luyện tập 1 trang 69: Trong Hình 3.51, hình nào là hình thoi? Vì sao?
Giải:
Hình a) Vì là hình bình hành (có hai đường chéo cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường) có hai đường chéo vuông góc với nhau
2. Hình vuông
Hoạt động 2 trang 70: Hãy giải thích tại sao hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau
Giải:
Vì hình vuông có bốn góc vuông nên hình vuông cũng là hình chữ nhật nên có hai đường chéo bằng nhau.
Vì hình vuông có bốn cạnh bằng nhau nên hình vuông cũng là hình thoi nên có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Câu hỏi trang 70: Hãy viết giả thiết, kết luận của câu a trong Định lí 4.
Giải:
Luyện tập 2 trang 71: Với mỗi hình dưới đây, ta dùng dấu hiệu nhận biết nào để khẳng định đó là hình vuông?
Giải:
a) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông
b) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông
c) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc
Vận dụng trang 71: Trở lại tình huống mở đầu .
Lấy một tờ giấy, gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông rồi cắt theo đoạn thẳng AB (H.3.46a). Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một tứ giác. Tứ giác đó là hình gì? Vì sao? Nếu ta có OA = OB thì tứ giác nhận được là hình gì (H.3.46b)?
Hãy giải thích tại sao.
- Trong trường hợp a, ta được hình thoi.
- Trong trường hợp b, ta được hình vuông
Giải:
- Trong trường hợp a:
Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông thì tạo ra tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và đều bằng cạnh AB.
Khi đó, tứ giác ABCD là hình thoi.
- Trong trường hợp b:
Khi gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông. Nếu OA = OB thì hai đường chéo của tứ giác bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Khi đó, tứ giác đã cho là hình vuông.
3. Giải bài tập trang 71
Bài 3.29: Tìm các hình thoi và hình vuông trong Hình 3.55
Giải:
* Xét Hình 3.55a)
Tứ giác ABCD có AB = CD; AD = BC.
Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.
* Xét Hình 3.55b)
Tứ giác EFGH có hai đường chéo EG và FH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành.
Hình bình hành EFGH có hai đường chéo vuông góc với nhau
Do đó tứ giác EFGH là hình thoi.
* Xét Hình 3.55c)
+ Tam giác MNP có
+
+
= 180
o
Suy ra
= 180
o -
-
= 180
o – 45
o – 45
o = 90
o
Chứng minh tương tự ta cũng có
= 90
o
+ Ta có:
=
+
= 45
o + 45
o = 90
o
Tương tự,
= 90
o
Xét tứ giác MNPQ có
=
=
=
= 90
o nên là hình chữ nhật.
Lại có hai đường chéo MP và NQ vuông góc với nhau
Do đó hình chữ nhật MNPQ là hình vuông.
* Xét Hình 3.55d)
Tứ giác RSUT không là hình thoi cũng không là hình vuông do không có các cạnh bằng nhau.
Vậy tứ giác EFGH trong hình 3.55b) là hình thoi và tứ giác MNPQ trong hình 3.55c) là hình vuông.
Bài 3.30: Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF là hình thoi?
c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì?
d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì điểm D ở vị tri nào trên cạnh BC để AEDF là hình vuông?
Giải:
a) Tứ giác AEDF là hình bình hành.
Vì có DE // AF, DF // AE (gt) (theo định nghĩa)
b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A. Vậy nếu D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AEDF là hình thoi.
Mà ABC là tam giác cân tại A nên D là trung điểm của BC.
c) Nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (vì là hình bình hành có một góc vuông).
d) Nếu ABC vuông tại A và D là trung điểm cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi).
Bài 3.31: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi
Giải:
Giả sử có hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Ta cần chứng minh EFGH là hình thoi. Thật vậy:
Do ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC.
H là trung điểm của AD nên AH = DH =
AD ;
F là trung điểm của BC nên BF = CF =
BC
Do đó AH = DH = BF = CF.
Xét ΔAHE và ΔBFE có:
=
= 90
o
AE = BE (do E là trung điểm của AB);
AH = BF (chứng minh trên).
Do đó ΔAHE = ΔBFE (hai cạnh góc vuông)
Suy ra HE = FE (hai cạnh tương ứng).
Tương tự, ta cũng có:
Δ BEF = Δ CGF (hai cạnh góc vuông), suy ra EF = GF (hai cạnh tương ứng).
Δ CGF = Δ DGH (hai cạnh góc vuông), suy ra GF = GH (hai cạnh tương ứng).
Từ đó ta có EF = FG = GH = HE
Do đó tứ giác EFHG là hình thoi.
Bài 3.32: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thôi là các đỉnh của một hình chữ nhật
Giải:
* Xét tam giác ABC có E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC
=> EF là đường trung bình của tam giác ABC
=> EF//AC; EF =
(1)
* Tương tự tam giác ADC có HG là đường trung bình nên:
HG // AC và HG =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG
=> tứ giác EFGH là hình bình hành.
Lại có: EF // AC và BD ⊥ AC nên BD ⊥ EF
EH // BD và EF ⊥ BD nên EF ⊥ EH
Nên
= 90
o}
Hình bình hành EFGH có
= 90
o nên là hình chữ nhật
Bài 3.33: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 36 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Biết rằng MA\perp MD. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD (H.3.56)
Giải:
Gọi I là trung điểm của AD.
Khi đó, MI =
mà M là trung điểm của BC nên MI = AB.
Suy ra AB =
nên AD = 2AB.
Mà AB + AD =
= 18 (cm).
Suy ra AB + 2AB = 18
Hay 3AB = 18
Do đó AB = 6 (cm).
Suy ra AD = 2AB = 2 . 6 = 12 (cm).
Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD là AB = CD = 6 cm; AD = BC = 12 cm.