Trắc nghiệm (3 điểm)
Câu 1: Cho tứ giác ABCD có ∠A = 75o; ∠B = 85o ; các tia phân giác của các góc ∠C và ∠D cắt nhau tại I. Số đo góc ∠CID là:
A. 60o B. 70o C. 80o D. 90o
Câu 2: Cho ΔMNP vuông tại M, đường cao MH. Gọi K, I lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến MN và MP. Gọi L là trung điểm của HP. Số đo góc ∠KIL là:
A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o
Câu 3: Chọn câu có khẳng định sai.
A. Hai điểm A và B gọi là đối xứng nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn AB.
B. Trong hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
C. Trong hình thoi, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
D. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Câu 4: Chọn kết quả đúng:
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AB = 3cm và MN = 7cm. Độ dài cạnh CD là:
A. 5cm B. 10cm C. 11cm D. 20cm
Câu 5: Chọn kết quả đúng:
Cho hình bình hành ABCD biết ∠A = 110o . Số đo góc ∠C là:
A. 110o B. 70o C. 65o D. 55o
Câu 6: Chọn đúng (Đ), sai (S) điền vào chỗ chấm:
a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. ....
b) Hình chữ nhật là tứ giác có tất cả các góc bằng nhau. ....
Tự luận (7 điểm)
Bài 1: (3 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC < BC), đường cao AH. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và AC. Gọi I là giao điểm của DF và AE.
a) Chứng minh tứ giác EFDH là hình thang cân.
b) Chứng I là trung điểm của DF.
Bài 2: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD). Trên cạnh AD, BC lầ lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = CN.
a) Chứng minh rằng: BM // DN.
b) Gọi O là trung điểm của BD. Chứng minh AC, BD, MN đồng quy tai O.
c) Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt AB tại P, cắt cạnh CD tại Q. chứng minh rằng PBQD là hình thoi.
d) Đường thẳng qua B song song với PQ và đường thẳng qua Q song song với BD cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: AC ⊥ CK.
ĐÁP ÁN
Trắc nghiệm (3 điểm)
Câu 1: C
Câu 2: D
Câu 3: B
Câu 4: C
Câu 5: A
Câu 6: a) S b) Đ
Tự luận (7 điểm)
Bài 1
a) Ta có DF là đường trung bình của ΔABC nên DF // BC hay DF // HE. Do đó DFEH là hình thang.
Mặt khác ΔAHC vuông có HF là đường trung tuyến nên HF = AC/2
DE là đường trung bình của ΔABC ⇒ DE = AC/2
Hình thang DFEH có HF = DE nên là hình thang cân.
b) Ta có DF // BC (cmt) hay DI // BE; D là trung điểm của AD ⇒ I là trung điểm của AE và DI = BE/2
Trong ΔAEC có IF là đường trung bình nên IF = EC/2 mà EC = EB (gt) ⇒ IF = ID hay I là trung điểm của DF.
Bài 2: (4 điểm)
a) Ta có AD = BC; AD // BC (gt), AM = CN (gt)
⇒ AD – AM = BC – CN
Hay DM = BN
Lại có DM // BN
Do đó MNDN là hình bình hành ⇒ BM // DN
b) O là trung điểm của BD mà ABCD là hình chữ nhật nên đường chéo thứ hai AC phải qua O.
Lại có tứ giác BMDN là hình bình hành nên MN phải đi qua trung điểm O của BD.
Vậy AC, BD, MN đồng quy tại O.
c) PQ ⊥ BD (gt). Xét các tam giác vuông POB và QOD có:
∠POB = ∠QOD∠ (đối đỉnh),
OB = OD
∠PBO = ∠QDO (so le trong).
Do đó ΔPOB = ΔQOD (g.c.g) ⇒ BP = DQ
Lại có BP // DQ nên tứ giác PBQD là hình bình hành
Mặt khác PBQD có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi.
d) Gọi F là giao điểm của BK và QC. Ta có O là trung điểm của BD và OQ // BK (gt) nên Q là trung điểm của DF.
Lại có QK // BD (gt); Q là trung điểm của DF ⇒ K là trung điểm của BF.
CK là trung tuyến của tam giác vuông BCF ⇒ CK = BK = BC/2.
Ta có QK là đường trung bình của tam giác
⇒ QK = BO = BD/2; QK // BO
⇒ Tứ giác OBKQ là hình bình hành
Mặt khác ∠(OBQ) = 90o ⇒ OBKQ là hình chữ nhật
⇒ ∠(OBK) = 90o
Xét ΔOCK và ΔOBK có
CK chung
OC = OB (tính chất đường chéo hình chéo hình chữ nhật)
CK = BK (cmt)
Vậy ΔOCK = ΔOBK (c.c.c) ⇒ ∠OCK = ∠OBK = 90o hay AC ⊥ CK.