Hướng dẫn giải bài tập SGK Toán lớp 8 tập 1 bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bài 51. (SGK trang 24 môn tóa lớp 8 tập 1)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ – 2x² + x;                          b) 2x² + 4x + 2 – 2y²;

c) 2xy – x² – y² + 16.

Giải:

a) x³ – 2x² + x = x(x² – 2x + 1) = x(x – 1)²

b) 2x² + 4x + 2 – 2y² = 2(x² + 2x + 1) – 2y²

= 2[(x + 1)² – y²]

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x² – y² + 16 = 16 – (x² – 2xy + y²) = 16 – (x – y)² =4² – (x – y)²

= (4 – x + y)(4 + x – y)

Bài 52. (SGK trang 24 môn tóa lớp 8 tập 1)

Chứng minh rằng (5n + 2)² – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Giải:

Ta có : (5n + 2)² – 4 = (5n + 2)² – 2²

= (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)

= 5n(5n + 4)

Vì 5 chia hết 5 nên 5n(5n + 4) chia hết 5 ∀n ∈ Z.

Bài 53. (SGK trang 24 môn tóa lớp 8 tập 1)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 3x + 2;

(Gợi ý: Ta không áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử -3x = – x – 2x thì ta có x² – 3x + 2 = x² – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.

Cũng có thể tách 2 = – 4 + 6, khi đó ta có x² – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)

b) x² + x – 6;

c) x² + 5x + 6.

Giải:

a) x² – 3x + 2 = a) x² – x – 2x + 2 = x(x – 1) – 2(x – 1) = (x – 1)(x – 2)

Hoặc x² – 3x + 2 = x2 – 3x – 4 + 6

= x² – 4 – 3x + 6

= (x – 2)(x + 2) – 3(x -2)

= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)

b) x² + x – 6 = x² + 3x – 2x – 6

= x(x + 3) – 2(x + 3)

= (x + 3)(x – 2).

c) x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2)

= (x + 2)(x + 3)

Bài 54 (SGK trang 25 môn tóa lớp 8 tập 1)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ + 2x²y + xy² – 9x;

b) 2x – 2y – x² + 2xy – y²;

c) x⁴ – 2x².

Giải:

a) x³ + 2x²y + xy²– 9x = x(x² +2xy + y² – 9)

= x[(x² + 2xy + y²) – 9]

= x[(x + y)² – 3²]

= x(x + y – 3)(x + y + 3)

b) 2x – 2y – x² + 2xy – y² = (2x – 2y) – (x² – 2xy + y²)

= 2(x – y) – (x – y)²

= (x – y)[2 – (x – y)]

= (x – y)(2 – x + y)

c) x⁴ – 2x² = x²(x² – (√2)²) = x²(x – √2)(x + √2).

Bài 55 (SGK trang 25 môn tóa lớp 8 tập 1)

Tìm x, biết:

a) x³ – 1/4 x = 0;

b) (2x – 1)² – (x + 3)² = 0;

c) x²(x – 3) + 12 – 4x = 0.

Giải:

a) x3 – 1/4x = 0 => x(x2 – (1/2)2) = 0

⇒x(x -1/2)(x + 1/2) = 0

Hoặc x = 0

Hoặc x -1/2= 0 ⇒ x = 1/2Hoặc x + 1/2= 0 ⇒ x = – 1/2

Vậy x = 0; x = – 1/2; x = 1/2.

b) (2x – 1)² – (x + 3)² = 0

[(2x – 1) – (x + 3)][(2x – 1) + (x + 3)] = 0

(2x – 1 – x – 3)(2x – 1 + x + 3) = 0

(x – 4)(3x + 2) = 0

Hoặc x – 4 = 0 ⇒ x = 4

Hoặc 3x + 2 = 0 ⇒ 3x = 2 => x = -2/3

Vậy x = 4; x = -2/3.

c) x²(x – 3) + 12 – 4x = 0

x²(x – 3) – 4(x -3)= 0

(x – 3)(x²– 2²) = 0

(x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

Hoặc x – 3 = 0 => x = 3

Hoặc x – 2 =0 => x = 2

Hoặc x + 2 = 0 => x = -2

Vậy x = 3; x = 2; x = -2.

Bài 56 (SGK trang 25 môn tóa lớp 8 tập 1)

Tính nhanh giá trị của đa thức:

a) x² + 1/2x + 1/16 tại x = 49,75;

b) x² – y² – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6.

Giải:

a) x² + 1/2x+ 1/16 tại x = 49,75

Ta có: x² + 1/2x + 1/16 = x² + 2.1/4x + (1/4)²

= (x +1/4)²

Với x = 49,75: (49,75 +1/4)2

= (49,75 + 0,25)2 = 502 = 2500

b) x² – y² – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6

Ta có: x² – y² – 2y – 1 = x² – (y² + 2y + 1)

= x² – (y + 1)² = (x – y – 1)(x + y + 1)

Với x = 93, y = 6: (93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1) = 86 . 100 = 8600

Bài 57 (SGK trang 25 môn tóa lớp 8 tập 1)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 4x + 3;                       b) x² + 5x + 4

c) x² – x – 6;                          d) x⁴ + 4

(Gợi ý câu d): Thêm và bớt 4x² vào đa thức đã cho.

Giải:

a) x² – 4x + 3 = x² – x – 3x + 3

= x(x – 1) – 3(x – 1) = (x -1)(x – 3)

b) x² + 5x + 4 = x² + 4x + x + 4

= x(x + 4) + (x + 4)

= (x + 4)(x + 1)

c) x² – x – 6 = x² +2x – 3x – 6

= x(x + 2) – 3(x + 2)

= (x + 2)(x – 3)

d) x⁴+ 4 = x⁴ + 4x² + 4 – 4x²

= (x² + 2)² – (2x)²

= (x² + 2 – 2x)(x² + 2 + 2x)

Bài 58 (SGK trang 25 môn tóa lớp 8 tập 1)

Chứng minh rằng n³ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Giải:

Ta có: n³– n = n(n² – 1) = n(n – 1)(n + 1)

Với n ∈ Z là tích của ba số nguyên liên tiếp. Do đó nó chia hết cho 3 và 2 mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên n³ – n chia hết cho 2, 3 hay chia hết cho 6.