1. Tổng hai lập phương
Hoạt động 1 trang 37: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a2 – ab + b2). Từ đó rút ra liên hệ giữa a3 + b3 và (a + b)(a2 – ab + b2).
Giải:
(a + b)(a2 – ab + b2) = a . a2 – a . ab + a . b2 + b . a2 – b . ab + b . b2
= a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3
= a3 + (a2b – a2b) + (ab2 – ab2) + b3 = a3 + b3.
Từ đó rút ra: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2).
Luyện tập 1 trang 38:
1. Viết x3 + 27 dưới dạng tích.
2. Rút gọn biểu thức x3 + 8y3 – (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2).
Giải:
1. Ta có x3 + 27 = x3 + 33 = (x + 3)(x2 – 3x + 32) = (x + 3)(x2 – 3x + 9).
Vậy x3 + 27 = (x + 3)(x2 – 3x + 9).
2. Ta có x3 + 8y3 – (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)
= x3 + 8y3 – [x3 + (2y)3]
= x3 + 8y3 – (x3 + 8y3)
= x3 + 8y3 – x3 – 8y3 = 0.
2. Hiệu hai lập phương
Hoạt động 2 trang 38: Với hai số bất kì, viết a3 – b3 = a3 + (–b)3 và sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương để tính a3 + (–b)3. Từ đó rút ra liên hệ giữa a3 – b3 và (a – b)(a2 + ab + b2).
Giải:
Ta có a3 – b3 = a3 + (–b)3 = [a + (–b)][a2 – a . (–b) + (–b)2]
= (a – b)(a2 + ab + b2).
Từ đó rút ra: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).
Luyện tập 2 trang 39:
a. Viết đa thức x3 – 8 dưới dạng tích.
b. Rút gọn biểu thức (3x – 2y)(9x2 + 6xy + 4y2) + 8y3.
Giải:
a. Ta có x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2)(x3 + 2x + 23) = (x – 2)(x3 + 2x + 4).
Vậy x3 – 8 = (x – 2)(x3 + 2x + 4).
b. Ta có (3x – 2y)(9x3 + 6xy + 4y3) + 8y3
= (3x – 2y)[(3x)3 + 3x . 2y + (2y)3] + 8y3
= (3x)3 – (2y)3 + 8y3
= 27x3 – 8y3 + 8y3 = 27x3.
Vậy (3x – 2y)(9x2 + 6xy + 4y2) + 8y3 = 27x3.
Vận dụng trang 39: Giải quyết tình huống mở đầu.
Giải:
Tròn đã áp dụng công thức tổng của hai lập phương để đưa về dạng tích như sau:
x6 + y6 = (x2)3 + (y2)3
= (x2+y2)[(x2)2 - x2.y2 + (y2)2 ]
= (x2 + y2)(x4 - x2y2 + y4).
3. Giải bài tập trang 39:
Bài 2.12: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hay hiệu của hai lập phương
a) (x + 4)(x2 – 4x + 16);
b) (4x2 + 2xy + y2)(2x – y).
Giải:
a) (x + 4)(x2 – 4x + 16)
= (x + 4)(x2 – x . 4 + 42)
= x3 + 43 = x3 + 64;
b) (4x2 + 2xy + y2)(2x – y) = (2x – y)[(2x)2 + 2xy + y2]
= (2x)3 – y3 = 8x3 – y3.
Bài 2.13: Thay ? bằng biểu thức thích hợp
a) x3 + 512 = (x+8)(x2 - ? + 64);
b) 27x3 - 8y3 = (? - 2y)( ? + 6xy + 4y2).
Giải:
a) Ta có x3 + 512 = x3 + 83 = (x + 8)(x2 – 8x + 82)
= (x + 8)(x2 – 8x + 64).
Vậy ta điền như sau x3 + 512 = (x + 8)(x2 – 8x + 64) ;
b) Ta có 27x3 – 8y3 = (3x)3 – (2y)3 = (3x – 2y)[(3x)2 + 3x . 2y + (2y)2]
= (3x – 2y)(9x2 + 6xy + 4y2).
Vậy ta điền như sau 27x3 – 8y3 = (3x – 2y)[9x2 + 6xy + 4y2].
Bài 2.14: Viết các đa thức sau dưới dạng tích:
a) 27x3 + y3;
b) x3 – 8y3.
Giải:
a) 27x3 + y3 = (3x)3 + y3 = (3x + y)[(3x)2 – 3x . y + y2]
= (3x + y)(9x2 – 3xy + y2).
b) x3 – 8y3 = x3 – (2y)3
= (x – 2y)[x2 + x . 2y + (2y)2]
= (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2).
Bài 2.15: Rút gọn biểu thức sau:
(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) + (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2).
Giải:
(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) + (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)
= x3 – (2y)3 + x3 + (2y)3
= (x3 + x3) + [(2y)3 – (2y)3]
= x3 + x3 = 2x3.